Exercices corrigés — Espace et solides (CM1)

On compte sur chacun des deux solides.
Tous deux ont 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets : de ce point de vue, ils sont identiques.
Ce qui les distingue, c'est la forme des faces. Le cube a six carrés tous identiques ; le pavé droit a des rectangles, égaux deux à deux.
Le cube est donc un pavé droit particulier, celui dont les trois dimensions sont égales.
Compter les faces, arêtes et sommets ne suffit pas à reconnaître un solide : il faut aussi regarder la nature de ses faces.

Un prisme droit possède deux bases identiques, reliées par des faces rectangulaires.
Faces : les 2 bases triangulaires, plus 3 rectangles, soit 5 faces.
Arêtes : 3 sur chaque base, plus 3 arêtes verticales qui relient les deux bases, soit 9 arêtes.
Sommets : 3 sur chaque base, soit 6 sommets.
La règle générale se devine : un prisme dont la base a n côtés possède n + 2 faces, 3n arêtes et 2n sommets. Pour n = 3, on retrouve bien 5, 9 et 6.

Un patron est la figure à plat qui, une fois pliée, donne le solide. Il comporte autant de morceaux que le solide a de faces.
Le pavé a six faces rectangulaires, identiques deux à deux, car les faces opposées sont superposables.
Le patron est donc composé de : deux rectangles de 6 cm × 4 cm, deux de 6 cm × 3 cm et deux de 4 cm × 3 cm.
Chaque paire correspond à deux faces qui se font face dans le solide.
Attention à la disposition : six rectangles aux bonnes dimensions ne forment un patron valable que s'ils sont placés de façon à se refermer sans recouvrement ni trou.

Un cube a 12 arêtes, toutes de même longueur, et 6 faces carrées identiques.
Longueur totale des arêtes : 12 × 7 = 84 cm.
Aire d'une face : 7 × 7 = 49 cm².
On peut aussi calculer l'aire totale des six faces : 6 × 49 = 294 cm².
Les deux résultats ne se comparent pas : 84 cm est une longueur, celle du fil qu'il faudrait pour tracer toutes les arêtes ; 49 cm² est une surface, celle du carton d'une face.

En perspective, les arêtes que le solide lui-même cache au regard se dessinent en pointillés.
Un cube vu de l'extérieur laisse un seul sommet invisible, celui qui se trouve à l'arrière, à l'opposé du sommet le plus proche de l'œil.
Trois arêtes aboutissent à ce sommet : ce sont elles qui se tracent en pointillés. Réponse : 3 arêtes.
Les neuf autres arêtes sont visibles et se tracent en trait plein.
Vérification : 3 + 9 = 12, le nombre total d'arêtes du cube.

Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones, c'est-à-dire des figures planes limitées par des segments.
Sont des polyèdres : le cube, la pyramide et le prisme droit. Leurs faces sont des carrés, des triangles ou des rectangles.
N'en sont pas : le cylindre et la boule, qui possèdent des surfaces courbes.
Un repère simple : un polyèdre a des arêtes bien droites et des sommets pointus. La boule n'a ni arête ni sommet, et le cylindre n'a que deux bords circulaires.

Une pyramide se compose d'une base et de faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet unique.
Faces : la base carrée, plus 4 triangles, soit 5 faces.
Arêtes : les 4 côtés du carré, plus les 4 arêtes qui montent vers le sommet, soit 8 arêtes.
Sommets : les 4 sommets du carré, plus le sommet principal, soit 5 sommets.
Comparaison utile : le prisme droit à base triangulaire a lui aussi 5 faces, mais 9 arêtes et 6 sommets. Deux solides différents peuvent donc avoir le même nombre de faces.

On remplit la boîte couche par couche.
Une rangée au fond contient 5 cubes ; il tient 4 rangées côte à côte, donc une couche compte 5 × 4 = 20 cubes.
La boîte mesure 3 cm de haut, on peut donc empiler 3 couches.
Nombre total : 20 × 3 = 60 cubes.
Autrement dit, on multiplie les trois dimensions : 5 × 4 × 3 = 60.
Ce compte de petits cubes est exactement ce qu'on appellera plus tard le volume de la boîte, exprimé en centimètres cubes.