Exercices corrigés — Symétrie et solides (CE2)

Un axe de symétrie est un pli le long duquel les deux moitiés de la figure se superposent exactement.
Carré : 4 axes, les deux médianes et les deux diagonales.
Rectangle non carré : 2 axes, seulement les deux médianes qui joignent les milieux des côtés opposés.
Cercle : une infinité d'axes, car toute droite passant par le centre le partage en deux moitiés identiques.
Piège : les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symétrie. En pliant le long d'une diagonale, les deux moitiés ne coïncident pas.

Dans une symétrie axiale, le symétrique d'un point se trouve de l'autre côté de l'axe, à la même distance et sur la même ligne.
A est à 3 carreaux à gauche de l'axe, donc A' est à 3 carreaux à droite de l'axe, sur la même ligne horizontale que A.
Vérification : en pliant la feuille le long de l'axe, les points A et A' se superposent.
Sur un quadrillage, il suffit de compter les carreaux : c'est la façon la plus sûre de placer un symétrique sans se tromper.

On compte sur le solide, ou sur son patron.
Le cube a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Ses faces sont des carrés, tous identiques : c'est ce qui distingue le cube des autres pavés droits.
Les arêtes sont les segments où deux faces se rencontrent ; les sommets sont les coins, où trois arêtes se rejoignent.
Un dé à jouer est un cube : ses six faces portent les nombres de 1 à 6.

Un cube possède 12 arêtes, toutes de même longueur, et 6 faces carrées identiques.
Longueur totale des arêtes : 12 × 5 = 60 cm. C'est la longueur de fil de fer nécessaire pour construire l'armature.
Aire d'une face : c'est un carré de 5 cm de côté, donc 5 × 5 = 25 cm².
Pour les six faces, il faudrait 6 × 25 = 150 cm² de carton.
Les deux résultats ne se comparent pas : 60 cm est une longueur, 25 cm² est une surface.

Le pavé droit possède 6 faces rectangulaires.
Elles sont identiques deux à deux : les faces opposées se superposent exactement. Il y a donc 3 paires de faces identiques.
Par exemple, pour un pavé de 6 cm sur 4 cm sur 3 cm : deux faces de 6 × 4, deux de 6 × 3 et deux de 4 × 3.
Le cube est le cas particulier où les trois paires deviennent identiques entre elles : les six faces sont alors des carrés égaux.

Une pyramide se compose d'une base et de faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet unique.
Elle a 5 faces : un carré, la base, et 4 triangles qui montent vers le sommet.
Elle possède aussi 8 arêtes : les 4 côtés du carré et les 4 arêtes qui rejoignent le sommet.
Et 5 sommets : les 4 coins du carré et le sommet de la pyramide.
Les pyramides d'Égypte ont cette forme, avec une base carrée et quatre faces triangulaires.

Triangle équilatéral : ses trois côtés sont égaux, et chaque sommet donne un axe passant par le milieu du côté opposé, soit 3 axes.
Triangle isocèle non équilatéral : seuls deux côtés sont égaux, il n'y a donc qu'un seul axe, celui qui part du sommet situé entre ces deux côtés.
Parallélogramme quelconque : aucun axe. Aucun pli ne fait coïncider ses deux moitiés.
Vérification par le pliage : plus une figure a de côtés égaux disposés régulièrement, plus elle possède d'axes.

On remplit la boîte couche par couche.
Une rangée au fond contient 4 cubes ; il tient 3 rangées côte à côte, donc une couche compte 4 × 3 = 12 cubes.
La boîte mesure 2 cm de haut, on peut donc empiler 2 couches.
Nombre total : 12 × 2 = 24 cubes.
Autrement dit, on multiplie les trois dimensions : 4 × 3 × 2 = 24.
Ce comptage de petits cubes est la première idée du volume, que l'on étudiera dans les classes suivantes.