Exercices corrigés — Triangles et quadrilatères (6e)

a) Si les diagonales d'un quadrilatère ont la même longueur et le même milieu, alors c'est un rectangle (ses quatre angles sont droits).
b) Si les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu, alors c'est un losange (ses quatre côtés ont la même longueur).
c) Avec le même milieu seulement, on ne peut pas conclure qu'il s'agit d'un rectangle ou d'un losange : il manque une information (même longueur ou perpendicularité). Ce quadrilatère a ses côtés opposés parallèles ; on l'appelle un parallélogramme, il sera étudié en cinquième.
Le tableau du cours résume ces cas : les diagonales d'un quadrilatère renseignent sur sa nature, à condition d'utiliser toutes les propriétés.

On utilise les propriétés des diagonales.
Les diagonales ont la même longueur et le même milieu : c'est la propriété caractéristique du rectangle, le quadrilatère a donc quatre angles droits.
Les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu : c'est la propriété caractéristique du losange, le quadrilatère a donc quatre côtés de même longueur.
Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré. Les trois conditions réunies (même longueur, perpendiculaires, même milieu) caractérisent le carré : c'est ainsi qu'on le construit à partir de ses diagonales.