6e · Fiche de révision

Triangles et quadrilatères — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 9 points à retenir et 5 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

À retenir

1. Les triangles

Définition

Un triangle est un polygone à trois côtés. Le triangle ABC a pour sommets A, B, C, pour côtés [AB], [BC] et [CA], et pour angles BÂC, AB̂C et BĈA.

Définition

– Triangles particuliers

Triangle	Définition	Propriétés
Quelconque	aucun côté de même longueur	aucune propriété particulière
Isocèle	deux côtés de même longueur	le sommet commun aux deux côtés égaux est le sommet principal ; le troisième côté est la base ; les deux angles à la base ont la même mesure
Équilatéral	trois côtés de même longueur	ses trois angles mesurent 60°
Rectangle	un angle droit	le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse ; c'est le plus long côté

Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle : il a un angle droit et les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur (ses deux autres angles mesurent alors 45°).

2. Construire un triangle

Propriété

– Inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Si l'une des longueurs est supérieure ou égale à la somme des deux autres, le triangle n'est pas constructible (dans le cas d'égalité, les trois points sont alignés).

3. Les quadrilatères

Définition

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Le quadrilatère ABCD a pour sommets A, B, C, D (dans cet ordre), pour côtés [AB], [BC], [CD], [DA] et pour diagonales [AC] et [BD] (segments joignant deux sommets opposés).

Deux côtés sont opposés s'ils n'ont pas de sommet commun ([AB] et [CD]) ; ils sont consécutifs s'ils ont un sommet commun ([AB] et [BC]).

Définition

– Rectangle, losange, carré

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur : c'est à la fois un rectangle et un losange.

Propriété

– Le rectangle

Si ABCD est un rectangle, alors :

ses côtés opposés ont la même longueur : AB = CD et BC = AD ;
ses côtés opposés sont parallèles : (AB) // (CD) et (BC) // (AD) ;
ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu : AC = BD, et le point d'intersection des diagonales est le milieu de [AC] et de [BD].

Propriété

– Le losange

Si ABCD est un losange, alors :

ses côtés opposés sont parallèles ;
ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ;
ses angles opposés ont la même mesure.

Propriété

– Le carré

Le carré possède toutes les propriétés du rectangle et du losange : ses diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Diagonales	Même milieu	Même longueur	Perpendiculaires
Rectangle	oui	oui	non (sauf si c'est un carré)
Losange	oui	non (sauf si c'est un carré)	oui
Carré	oui	oui	oui

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1

– Construire un triangle connaissant les longueurs de ses trois côtés (au compas)

Construire ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm :

Faire une figure à main levée avec les longueurs.
Tracer le segment [AB] de 6 cm à la règle.
Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm.
Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm.
Les deux arcs se coupent en C. Tracer [AC] et [BC].

Méthode 2

– Construire un triangle connaissant un côté et deux angles, ou deux côtés et l'angle compris

Un côté et deux angles (AB = 5 cm, BÂC = 50°, AB̂C = 70°) : tracer [AB], puis avec le rapporteur les deux angles en A et en B ; les côtés se coupent en C.
Deux côtés et l'angle compris (AB = 5 cm, AC = 3 cm, BÂC = 40°) : tracer [AB], l'angle de 40° en A au rapporteur, puis reporter 3 cm sur le second côté pour placer C.

Méthode 3

– Construire un rectangle ABCD avec AB = 5 cm et BC = 3 cm

Tracer [AB] de 5 cm.
À l'équerre, tracer les perpendiculaires à (AB) en A et en B.
Reporter 3 cm sur chacune pour placer D et C (du même côté de (AB)).
Tracer [DC]. Coder les angles droits et les côtés égaux.

Méthode 4

– Construire un losange au compas connaissant le côté et une diagonale

Losange ABCD de côté 4 cm avec AC = 6 cm :

Tracer [AC] de 6 cm.
Tracer un arc de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de centre C et de rayon 4 cm, d'un côté de (AC) : ils se coupent en B.
Recommencer de l'autre côté de (AC) pour placer D.
Tracer les quatre côtés.

Méthode 5

– Construire un carré à partir de ses diagonales

Carré de diagonale 6 cm : tracer [AC] de 6 cm, placer son milieu O, tracer la perpendiculaire à (AC) en O, puis reporter 3 cm de part et d'autre de O sur cette perpendiculaire pour obtenir B et D. Relier A, B, C, D.

Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés