Triangles et quadrilatères — cours de 6e
Les triangles, Construire un triangle, Les quadrilatères, Construire un quadrilatère particulier Lecture ≈ 6 min.
1. Les triangles
Un triangle est un polygone à trois côtés. Le triangle ABC a pour sommets A, B, C, pour côtés [AB], [BC] et [CA], et pour angles BÂC, AB̂C et BĈA.
| Triangle | Définition | Propriétés |
|---|---|---|
| Quelconque | aucun côté de même longueur | aucune propriété particulière |
| Isocèle | deux côtés de même longueur | le sommet commun aux deux côtés égaux est le sommet principal ; le troisième côté est la base ; les deux angles à la base ont la même mesure |
| Équilatéral | trois côtés de même longueur | ses trois angles mesurent 60° |
| Rectangle | un angle droit | le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse ; c'est le plus long côté |
Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle : il a un angle droit et les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur (ses deux autres angles mesurent alors 45°).
Le triangle ABC avec AB = AC = 5 cm et BC = 3 cm est isocèle en A : A est le sommet principal, [BC] est la base, et AB̂C = AĈB.
Le triangle DEF avec DÊF = 90° est rectangle en E ; son hypoténuse est [DF].
2. Construire un triangle
Construire ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm :
- Faire une figure à main levée avec les longueurs.
- Tracer le segment [AB] de 6 cm à la règle.
- Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm.
- Les deux arcs se coupent en C. Tracer [AC] et [BC].
- Un côté et deux angles (AB = 5 cm, BÂC = 50°, AB̂C = 70°) : tracer [AB], puis avec le rapporteur les deux angles en A et en B ; les côtés se coupent en C.
- Deux côtés et l'angle compris (AB = 5 cm, AC = 3 cm, BÂC = 40°) : tracer [AB], l'angle de 40° en A au rapporteur, puis reporter 3 cm sur le second côté pour placer C.
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Si l'une des longueurs est supérieure ou égale à la somme des deux autres, le triangle n'est pas constructible (dans le cas d'égalité, les trois points sont alignés).
Peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm ? Non, car 3 + 4 = 7 < 8 : les arcs de cercle ne se couperaient pas.
Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 6 cm est constructible car 6 < 3 + 4.
Tracer [AB] de 4 cm. Tracer un arc de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de centre B et de rayon 4 cm (sans changer l'écartement du compas). Ils se coupent en C. Tracer [AC] et [BC]. Coder les trois côtés égaux.
3. Les quadrilatères
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Le quadrilatère ABCD a pour sommets A, B, C, D (dans cet ordre), pour côtés [AB], [BC], [CD], [DA] et pour diagonales [AC] et [BD] (segments joignant deux sommets opposés).
Deux côtés sont opposés s'ils n'ont pas de sommet commun ([AB] et [CD]) ; ils sont consécutifs s'ils ont un sommet commun ([AB] et [BC]).
- Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
- Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
- Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur : c'est à la fois un rectangle et un losange.
Si ABCD est un rectangle, alors :
- ses côtés opposés ont la même longueur : AB = CD et BC = AD ;
- ses côtés opposés sont parallèles : (AB) // (CD) et (BC) // (AD) ;
- ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu : AC = BD, et le point d'intersection des diagonales est le milieu de [AC] et de [BD].
Si ABCD est un losange, alors :
- ses côtés opposés sont parallèles ;
- ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ;
- ses angles opposés ont la même mesure.
Le carré possède toutes les propriétés du rectangle et du losange : ses diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
| Diagonales | Même milieu | Même longueur | Perpendiculaires |
|---|---|---|---|
| Rectangle | oui | oui | non (sauf si c'est un carré) |
| Losange | oui | non (sauf si c'est un carré) | oui |
| Carré | oui | oui | oui |
ABCD est un rectangle de diagonales [AC] et [BD] qui se coupent en O. Si AC = 10 cm, alors BD = 10 cm et OA = OB = OC = OD = 5 cm.
Conséquence : le cercle de centre O et de rayon 5 cm passe par les quatre sommets du rectangle.
EFGH est un losange dont les diagonales [EG] et [FH] se coupent en I. Alors (EG) ⊥ (FH), I est le milieu de [EG] et de [FH]. Les triangles EIF, FIG, GIH et HIE sont rectangles en I.
4. Construire un quadrilatère particulier
- Tracer [AB] de 5 cm.
- À l'équerre, tracer les perpendiculaires à (AB) en A et en B.
- Reporter 3 cm sur chacune pour placer D et C (du même côté de (AB)).
- Tracer [DC]. Coder les angles droits et les côtés égaux.
Losange ABCD de côté 4 cm avec AC = 6 cm :
- Tracer [AC] de 6 cm.
- Tracer un arc de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de centre C et de rayon 4 cm, d'un côté de (AC) : ils se coupent en B.
- Recommencer de l'autre côté de (AC) pour placer D.
- Tracer les quatre côtés.
Carré de diagonale 6 cm : tracer [AC] de 6 cm, placer son milieu O, tracer la perpendiculaire à (AC) en O, puis reporter 3 cm de part et d'autre de O sur cette perpendiculaire pour obtenir B et D. Relier A, B, C, D.