Exercices corrigés — Triangles et quadrilatères (6e)

MNP a deux côtés de même longueur, MN = NP = 4 cm : il est isocèle. Le sommet commun aux deux côtés égaux est N, donc MNP est isocèle en N ; sa base est [MP] et ses angles à la base, en M et en P, ont la même mesure.
RST a un angle droit en S : il est rectangle en S, et son hypoténuse est [RT], le côté opposé à l'angle droit. De plus SR = ST : il est aussi isocèle en S.
RST est donc rectangle et isocèle en S. C'est la moitié d'un carré coupé par une diagonale.

Dans un triangle, chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres (inégalité triangulaire). Ici le plus grand côté mesure 9 cm et les deux autres 2 cm et 5 cm : 2 + 5 = 7.
Comme 9 > 7, le côté de 9 cm est plus long que les deux autres mis bout à bout : il est impossible de « refermer » le triangle.
Au compas, en traçant [AB] de 9 cm puis les arcs de rayons 2 cm et 5 cm, les deux arcs ne se coupent pas. Le triangle n'existe pas.
Il suffit de vérifier l'inégalité pour le plus grand côté : si elle est vraie pour lui, elle l'est pour les deux autres.

On compare le plus grand côté à la somme des deux autres.
a) 3 + 4 = 7 et 6 < 7 : le triangle existe. Ses trois côtés sont différents, il est quelconque.
b) 3 + 4 = 7 et le plus grand côté mesure exactement 7 : les deux petits côtés mis bout à bout ont juste la longueur du grand. Les trois « sommets » sont alignés, on obtient un triangle aplati, c'est-à-dire pas de vrai triangle. On ne peut pas le construire.
c) 5 + 5 = 10 et 9 < 10 : le triangle existe. Deux côtés sont égaux (5 cm et 5 cm), il est isocèle, et sa base mesure 9 cm.

1. Faire une figure à main levée en notant les trois longueurs, pour visualiser le triangle.
2. Tracer à la règle le segment [AB] de 7 cm (on commence par le côté le plus long, c'est plus commode).
3. Avec le compas écarté de 5 cm, tracer un arc de cercle de centre A : tous ses points sont à 5 cm de A, comme doit l'être C.
4. Avec le compas écarté de 6 cm, tracer un arc de cercle de centre B, du même côté de [AB]. Le point C est à l'intersection des deux arcs : il est à la fois à 5 cm de A et à 6 cm de B.
5. Tracer les segments [AC] et [BC] à la règle, puis vérifier les longueurs. Le triangle existe bien car 7 < 5 + 6.

a) Si les diagonales d'un quadrilatère ont la même longueur et le même milieu, alors c'est un rectangle (ses quatre angles sont droits).
b) Si les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu, alors c'est un losange (ses quatre côtés ont la même longueur).
c) Avec le même milieu seulement, on ne peut pas conclure qu'il s'agit d'un rectangle ou d'un losange : il manque une information (même longueur ou perpendicularité). Ce quadrilatère a ses côtés opposés parallèles ; on l'appelle un parallélogramme, il sera étudié en cinquième.
Le tableau du cours résume ces cas : les diagonales d'un quadrilatère renseignent sur sa nature, à condition d'utiliser toutes les propriétés.

On utilise les propriétés des diagonales.
Les diagonales ont la même longueur et le même milieu : c'est la propriété caractéristique du rectangle, le quadrilatère a donc quatre angles droits.
Les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu : c'est la propriété caractéristique du losange, le quadrilatère a donc quatre côtés de même longueur.
Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré. Les trois conditions réunies (même longueur, perpendiculaires, même milieu) caractérisent le carré : c'est ainsi qu'on le construit à partir de ses diagonales.

a) Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur : CD = AB = 5 cm et DA = BC = 3 cm. Périmètre : 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm, ou 2 × (5 + 3) = 16 cm.
b) Un losange a ses quatre côtés de même longueur : périmètre = 4 × 4 = 16 cm. Deux figures différentes peuvent avoir le même périmètre.
c) Dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur : OA = 6 ÷ 2 = 3 cm, et de même OB = OC = OD = 3 cm.
Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires, donc l'angle AÔB est droit ; et OA = OB. Le triangle OAB est rectangle et isocèle en O. Les quatre triangles OAB, OBC, OCD, ODA sont identiques.

Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu. Le centre du rectangle est ce milieu commun, appelons-le O.
Chaque sommet est une extrémité d'une diagonale, et O est le milieu de cette diagonale : la distance du sommet à O est la moitié de la diagonale, 13 ÷ 2 = 6,5 cm.
Les quatre sommets sont donc tous à 6,5 cm de O : OA = OB = OC = OD = 6,5 cm.
Conséquence : le cercle de centre O et de rayon 6,5 cm passe par les quatre sommets du rectangle. Cela n'est pas vrai pour un losange non carré, dont les diagonales n'ont pas la même longueur.