Exercices corrigés — Symétrie axiale (6e)

Un carré a 4 axes de symétrie : ses deux diagonales et les deux droites qui joignent les milieux de côtés opposés (ses médiatrices).
Un rectangle non carré a 2 axes : les médiatrices de ses côtés, qui joignent les milieux des côtés opposés. Ses diagonales ne sont pas des axes.
Un losange non carré a 2 axes : ses diagonales. Les médiatrices de ses côtés ne sont pas des axes.
Un triangle équilatéral a 3 axes : les médiatrices de ses trois côtés, chacune passant par le sommet opposé. Un cercle a une infinité d'axes : toute droite passant par son centre. Pour vérifier, on imagine le pliage : les deux parties doivent se superposer exactement.

Le symétrique d'un point est à la même distance de l'axe, de l'autre côté, sur la perpendiculaire à l'axe passant par le point. Sur un quadrillage à axe vertical, on reste sur la même ligne horizontale et l'on compte le même nombre de carreaux de l'autre côté.
M' est 4 carreaux à droite de (d), sur la ligne de M. N' est 2 carreaux à gauche de (d), sur la ligne de N.
P est sur l'axe : son symétrique est lui-même, P' = P. Les points de l'axe sont les seuls qui ne bougent pas.
MM' vaut 4 + 4 = 8 carreaux, soit 8 × 0,5 = 4 cm. L'axe passe par le milieu de [MM'], à 2 cm de chaque extrémité.

Par définition du symétrique, la droite (d) est la médiatrice du segment [MM'] : elle est perpendiculaire à [MM'] et passe par son milieu.
Le point H, intersection de (d) et de la perpendiculaire passant par M, est donc le milieu de [MM'] : HM' = HM = 2,3 cm.
MM' = MH + HM' = 2,3 + 2,3 = 4,6 cm, soit le double de la distance de M à l'axe.
Réciproquement, pour construire M' à l'équerre, on prolonge [MH] au-delà de H et l'on reporte 2,3 cm.

1. Régler l'écartement du compas sur une longueur supérieure à la moitié de AB, par exemple 4 cm (la moitié vaut 3 cm).
2. Piquer en A et tracer un arc de cercle de part et d'autre du segment ; sans changer l'écartement, piquer en B et tracer un arc de chaque côté. Les arcs se coupent en deux points, P au-dessus et Q en dessous de [AB].
3. Tracer la droite (PQ) à la règle : c'est la médiatrice de [AB]. Elle est perpendiculaire à [AB] et le coupe en son milieu I, avec AI = IB = 3 cm, ce que l'on peut vérifier à l'équerre et à la règle.
Pourquoi cela marche : P et Q sont à égale distance de A et de B (même écartement de compas), donc ils sont sur la médiatrice. Propriété : tout point de la médiatrice est à égale distance de A et de B ; par exemple KA = KB pour tout point K de (PQ).

On sait que K appartient à la médiatrice du segment [AB].
Or tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités de ce segment.
Donc KA = KB, et KB = 6 cm.
Le triangle KAB est isocèle en K, et la médiatrice de [AB] est son axe de symétrie : A et B sont symétriques par rapport à cette droite. Si K était le milieu de [AB], on aurait aussi KA = KB, mais avec K sur le segment.

a) Le point B est sur l'axe (d) : il est son propre symétrique, donc B' = B.
b) La symétrie axiale conserve les longueurs : A'B' = AB = 5 cm, B'C' = BC = 4 cm et A'C' = AC = 3 cm. Le périmètre de A'B'C' est 5 + 4 + 3 = 12 cm, comme celui de ABC.
c) La symétrie conserve aussi les aires : les deux triangles ont la même aire. En pliant le long de (d), A'B'C' se superpose exactement à ABC.
Les angles sont conservés également : comme 3² + 4² = 5², on verra en quatrième que ABC est rectangle en C ; A'B'C' l'est alors en C'. La figure symétrique est identique à la figure de départ, seulement « retournée ».

Faux, en général. Un axe de symétrie doit permettre, par pliage, de superposer exactement les deux parties de la figure.
Si l'on plie un rectangle non carré le long d'une diagonale, les deux triangles obtenus ne se superposent pas : le grand côté de l'un vient sur le petit côté de l'autre. La diagonale n'est donc pas un axe de symétrie.
Les axes de symétrie d'un rectangle sont les deux droites qui passent par les milieux de deux côtés opposés (les médiatrices des côtés).
Exception : si le rectangle est un carré, ses diagonales sont bien des axes de symétrie, et il en a quatre en tout. L'affirmation est donc vraie seulement pour les carrés.

La symétrie axiale conserve les mesures d'angles et les longueurs : le triangle A'B'C', image de ABC, a exactement les mêmes mesures que ABC.
L'angle A'B̂'C' est le symétrique de l'angle AB̂C, qui mesure 90° : A'B̂'C' = 90°. Le triangle A'B'C' est donc rectangle en B'.
Le segment [A'B'] est le symétrique de [AB], donc A'B' = AB = 3 cm ; de même B'C' = 4 cm.
Seule la position change : A'B'C' est situé de l'autre côté de (d), et il est « retourné » comme dans un miroir. Ses dimensions, ses angles, son périmètre et son aire sont ceux de ABC.