Symétrie axiale — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Figures symétriques
Définition
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsqu'elles se superposent exactement par pliage le long de cette droite. La droite (d) est appelée l'axe de symétrie.
On dit aussi que l'une est l'image de l'autre par la symétrie d'axe (d).
Définition
Une figure possède un axe de symétrie lorsque, par pliage le long de cet axe, les deux parties de la figure se superposent exactement. La figure est alors sa propre image par la symétrie.
2. Symétrique d'un point
Définition
Le symétrique d'un point M par rapport à une droite (d) est le point M' tel que (d) est la médiatrice du segment [MM'] : la droite (d) est perpendiculaire à [MM'] et passe par son milieu.
Si M appartient à (d), alors son symétrique est M lui-même.
3. Propriétés de la symétrie axiale
Propriété
La symétrie axiale conserve :
- les longueurs : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
- les mesures d'angles ;
- l'alignement : le symétrique d'une droite est une droite ;
- les aires et les périmètres.
Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre.
Le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.
4. Médiatrice d'un segment
Définition
La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
C'est un axe de symétrie du segment [AB] : les points A et B sont symétriques par rapport à la médiatrice.
Propriété
Tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance (équidistant) des extrémités de ce segment.
Réciproquement, tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à sa médiatrice.
Si M est sur la médiatrice de [AB], alors MA = MB. Si MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB].
5. Axes de symétrie des figures usuelles
Propriété
| Figure | Nombre d'axes | Description des axes |
|---|---|---|
| Segment | 2 | sa médiatrice et la droite qui le porte |
| Triangle isocèle | 1 | la médiatrice de la base (elle passe par le sommet principal) |
| Triangle équilatéral | 3 | les trois médiatrices des côtés |
| Rectangle | 2 | les médiatrices des côtés (les diagonales ne sont pas des axes) |
| Losange | 2 | ses deux diagonales |
| Carré | 4 | ses deux diagonales et les deux médiatrices des côtés |
| Cercle | une infinité | toutes les droites passant par le centre |
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M ; elle coupe (d) en H.
- Reporter la longueur MH de l'autre côté de (d), sur cette perpendiculaire : on obtient M' tel que HM' = HM.
Méthode 2
- Choisir deux points P et Q sur l'axe (d).
- Tracer un arc de cercle de centre P et de rayon PM, puis un arc de centre Q et de rayon QM, de l'autre côté de (d).
- Leur point d'intersection est M'.
Cette méthode marche parce que les points de l'axe sont à égale distance de M et de M'.
Méthode 3
- Construire le symétrique de chaque point « important » : les sommets d'un polygone, le centre d'un cercle, les extrémités d'un segment.
- Relier ces points dans le même ordre (ou tracer le cercle de même rayon).
Méthode 4
À la règle et à l'équerre : mesurer AB, placer le milieu I, tracer la perpendiculaire à (AB) en I.
Au compas :
- Prendre un écartement de compas supérieur à la moitié de AB.
- Tracer deux arcs de cercle de centre A, de part et d'autre de [AB], puis deux arcs de centre B avec le même écartement.
- Les arcs se coupent en deux points ; la droite passant par ces deux points est la médiatrice.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés