Symétrie axiale — cours de 6e
Figures symétriques, Symétrique d'un point, Propriétés de la symétrie axiale, Médiatrice d'un segment Lecture ≈ 5 min.
1. Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsqu'elles se superposent exactement par pliage le long de cette droite. La droite (d) est appelée l'axe de symétrie.
On dit aussi que l'une est l'image de l'autre par la symétrie d'axe (d).
Une figure possède un axe de symétrie lorsque, par pliage le long de cet axe, les deux parties de la figure se superposent exactement. La figure est alors sa propre image par la symétrie.
Les lettres A, H, M, T, U, V ont un axe de symétrie vertical ; les lettres B, C, D, E, K ont un axe de symétrie horizontal ; les lettres H, I, O, X ont deux axes de symétrie ; les lettres F, G, J, L, N, P, R, S, Z n'en ont aucun.
2. Symétrique d'un point
Le symétrique d'un point M par rapport à une droite (d) est le point M' tel que (d) est la médiatrice du segment [MM'] : la droite (d) est perpendiculaire à [MM'] et passe par son milieu.
Si M appartient à (d), alors son symétrique est M lui-même.
- Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M ; elle coupe (d) en H.
- Reporter la longueur MH de l'autre côté de (d), sur cette perpendiculaire : on obtient M' tel que HM' = HM.
- Choisir deux points P et Q sur l'axe (d).
- Tracer un arc de cercle de centre P et de rayon PM, puis un arc de centre Q et de rayon QM, de l'autre côté de (d).
- Leur point d'intersection est M'.
Cette méthode marche parce que les points de l'axe sont à égale distance de M et de M'.
Sur un quadrillage, si l'axe est vertical et que M est situé 3 carreaux à gauche de l'axe, alors M' est situé 3 carreaux à droite de l'axe, sur la même ligne horizontale.
3. Propriétés de la symétrie axiale
La symétrie axiale conserve :
- les longueurs : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
- les mesures d'angles ;
- l'alignement : le symétrique d'une droite est une droite ;
- les aires et les périmètres.
Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre.
Le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.
- Construire le symétrique de chaque point « important » : les sommets d'un polygone, le centre d'un cercle, les extrémités d'un segment.
- Relier ces points dans le même ordre (ou tracer le cercle de même rayon).
Le symétrique du triangle ABC par rapport à (d) est le triangle A'B'C' où A', B', C' sont les symétriques de A, B, C. On a A'B' = AB, B'C' = BC, A'C' = AC et les angles sont conservés : si ABC est rectangle en A, alors A'B'C' est rectangle en A'.
4. Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
C'est un axe de symétrie du segment [AB] : les points A et B sont symétriques par rapport à la médiatrice.
Tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance (équidistant) des extrémités de ce segment.
Réciproquement, tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à sa médiatrice.
Si M est sur la médiatrice de [AB], alors MA = MB. Si MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB].
À la règle et à l'équerre : mesurer AB, placer le milieu I, tracer la perpendiculaire à (AB) en I.
Au compas :
- Prendre un écartement de compas supérieur à la moitié de AB.
- Tracer deux arcs de cercle de centre A, de part et d'autre de [AB], puis deux arcs de centre B avec le même écartement.
- Les arcs se coupent en deux points ; la droite passant par ces deux points est la médiatrice.
On veut placer un point P à égale distance de deux villes A et B : P doit être sur la médiatrice de [AB]. Si on veut de plus que P soit à 5 km de A, on trace le cercle de centre A et de rayon 5 km : les positions possibles sont les points d'intersection de ce cercle avec la médiatrice.
5. Axes de symétrie des figures usuelles
| Figure | Nombre d'axes | Description des axes |
|---|---|---|
| Segment | 2 | sa médiatrice et la droite qui le porte |
| Triangle isocèle | 1 | la médiatrice de la base (elle passe par le sommet principal) |
| Triangle équilatéral | 3 | les trois médiatrices des côtés |
| Rectangle | 2 | les médiatrices des côtés (les diagonales ne sont pas des axes) |
| Losange | 2 | ses deux diagonales |
| Carré | 4 | ses deux diagonales et les deux médiatrices des côtés |
| Cercle | une infinité | toutes les droites passant par le centre |
Un triangle isocèle ABC de sommet principal A : son axe de symétrie est la médiatrice de [BC]. Cet axe passe par A, il est aussi la bissectrice de l'angle BÂC. C'est pourquoi les angles AB̂C et AĈB ont la même mesure (ils sont symétriques).
Pour compléter une figure afin qu'une droite (d) soit un axe de symétrie, on construit le symétrique de chaque sommet de la partie déjà tracée et on relie les points obtenus.