Exercices corrigés — Solides et volumes (6e)

Un pavé droit a 6 faces, qui vont par paires de faces opposées identiques : dessus et dessous, devant et derrière, gauche et droite.
Il a 12 arêtes : pour chacune de ses trois dimensions, 4 arêtes de même longueur. Il a 8 sommets, chacun commun à trois faces.
Ses faces sont des rectangles (toutes les six). Dans le cas particulier du cube, les six faces sont des carrés identiques.
On peut vérifier sur une boîte à chaussures : 6 faces, 12 bords, 8 coins.

a) Chaque dimension correspond à 4 arêtes parallèles de même longueur : 4 arêtes de 5 cm, 4 arêtes de 3 cm et 4 arêtes de 2 cm, soit 12 arêtes en tout.
Longueur totale : 4 × 5 + 4 × 3 + 4 × 2 = 20 + 12 + 8 = 40 cm, ou plus vite 4 × (5 + 3 + 2) = 4 × 10 = 40 cm.
b) Les faces sont des rectangles, deux par deux identiques : deux rectangles de 5 cm sur 3 cm (dessus et dessous), deux rectangles de 5 cm sur 2 cm (devant et derrière) et deux rectangles de 3 cm sur 2 cm (les deux petits côtés).
Un patron du pavé est formé de ces six rectangles ; leur aire totale est 2 × (15 + 10 + 6) = 62 cm².

Les arêtes cachées, celles que l'on ne verrait pas si le solide était opaque, se dessinent en pointillés ; les arêtes visibles en traits pleins.
La face avant n'est pas déformée : elle est dessinée en vraie grandeur, avec ses angles droits, ainsi que la face arrière qui lui est parallèle.
Les arêtes de profondeur (les « fuyantes ») sont dessinées obliques, toutes parallèles entre elles et dans la même direction (souvent à 45°), et raccourcies, en général de moitié : une arête de 4 cm se dessine 2 cm.
Ce qui est conservé : le parallélisme et les milieux. Ce qui ne l'est pas : les longueurs des fuyantes et les angles droits qui les font intervenir. Le dessin donne l'illusion du relief.

Un patron de cube doit comporter 6 carrés, jamais plus de 4 alignés, et aucun bloc de 2 × 2 (sinon deux faces se superposent au pliage).
a) 6 carrés alignés : non, il y a plus de 4 carrés alignés ; en pliant, les deux carrés extrêmes se retrouvent au même endroit et deux faces manquent.
b) Oui : c'est le patron en croix, le plus connu. Les 4 carrés alignés forment le tour du cube, les deux autres ferment le dessus et le dessous.
c) Non : le bloc de 2 × 2 fait se superposer deux faces au pliage. d) Oui : les 4 carrés alignés forment le tour, et les deux carrés attachés aux extrémités, de part et d'autre, ferment le dessus et le dessous. Il existe en tout 11 patrons différents du cube.

Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : V = 12 × 5 × 4. On calcule 12 × 5 = 60, puis 60 × 4 = 240 : le volume est 240 cm³.
Interprétation : une couche de 1 cm d'épaisseur contient 12 × 5 = 60 petits cubes de 1 cm d'arête, et il y a 4 couches.
Le volume d'un cube d'arête a est a × a × a : 6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216 cm³.
Les longueurs sont en centimètres, les volumes en centimètres cubes. Ne pas confondre avec l'aire d'une face du cube, 6 × 6 = 36 cm².

Pour les volumes, chaque unité vaut 1 000 fois la suivante (trois colonnes par unité dans le tableau), et 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL.
4 m³ en L : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L, donc 4 m³ = 4 000 L.
250 mL en cm³ : 1 mL = 1 cm³, donc 250 mL = 250 cm³. 3,5 dm³ en cL : 3,5 dm³ = 3,5 L, et 1 L = 100 cL, donc 3,5 × 100 = 350 cL.
8 000 cm³ en dm³ : 1 dm³ = 1 000 cm³, donc 8 000 ÷ 1 000 = 8 dm³ (soit 8 L). Pour les volumes, la virgule se décale de 3 rangs par unité, et non de 1 comme pour les longueurs.

a) Volume = 80 × 40 × 35. On calcule 80 × 40 = 3 200, puis 3 200 × 35 = 112 000 : le volume est 112 000 cm³. Comme 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 L, cela fait 112 dm³, soit 112 L.
b) À moitié : 112 ÷ 2 = 56 L d'eau.
c) Nombre d'arrosoirs : 112 ÷ 8 = 14. Il faut 14 arrosoirs de 8 L pour remplir le bac (14 × 8 = 112, la division tombe juste).
Ordre de grandeur : un bac de moins d'un mètre de long, un peu plus de 100 L, c'est cohérent (une baignoire fait environ 150 L).

Volume de la citerne : V = 2 × 1,5 × 1,2. On calcule 2 × 1,5 = 3, puis 3 × 1,2 = 3,6 : V = 3,6 m³.
Conversion en litres : 1 m³ = 1 000 L, donc 3,6 m³ = 3 600 L.
Conversion en hectolitres : 1 hL = 100 L, donc 3 600 L = 3 600 ÷ 100 = 36 hL.
La citerne peut contenir 36 hL d'eau. Dans le tableau de conversion, on écrit 3,6 avec le 3 dans la colonne des m³ et l'on lit directement 36 dans la colonne des hL.