Solides et volumes — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 10 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Vocabulaire des solides
Définition
Un solide est un objet de l'espace (en trois dimensions). Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Il possède :
- des faces : les surfaces planes qui le délimitent ;
- des arêtes : les segments qui bordent les faces (chaque arête est commune à deux faces) ;
- des sommets : les points où se rejoignent les arêtes.
Définition
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide dont les 6 faces sont des rectangles. Il possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Ses faces opposées sont identiques (superposables) et parallèles. Ses dimensions sont sa longueur, sa largeur et sa hauteur.
Un cube est un pavé droit dont les 6 faces sont des carrés : ses 12 arêtes ont toutes la même longueur.
2. Perspective cavalière
Définition
La perspective cavalière est une façon de représenter un solide sur une feuille (en deux dimensions). Règles :
- la face de devant et la face de derrière sont dessinées en vraie grandeur (les angles droits restent droits) ;
- les arêtes « en profondeur » (fuyantes) sont dessinées parallèles entre elles, obliques (souvent à 45°), et réduites (souvent à la moitié de leur longueur réelle) ;
- les arêtes cachées sont dessinées en pointillés ;
- les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
3. Patrons
Définition
Un patron d'un solide est une figure plane, d'un seul tenant, qui permet de fabriquer le solide par pliage. Il est constitué de toutes les faces du solide dessinées en vraie grandeur.
Un même solide possède plusieurs patrons différents.
Propriété
Un patron de cube est formé de 6 carrés identiques. Il existe 11 patrons différents du cube. Le plus connu est en forme de croix : quatre carrés alignés, avec un carré de chaque côté du deuxième.
Un patron de pavé droit est formé de 6 rectangles : 3 paires de rectangles identiques.
4. Volume du pavé droit et du cube
Définition
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. L'unité de volume est le mètre cube (m3) : c'est le volume d'un cube de 1 m d'arête. De même 1 cm3 est le volume d'un cube de 1 cm d'arête.
Propriété
Le volume d'un pavé droit de longueur L, de largeur l et de hauteur h est : V = L × l × h
Le volume d'un cube d'arête a est : V = a × a × a (noté aussi a3).
Les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
5. Unités de volume et de capacité
Propriété
Chaque unité de volume est 1 000 fois plus grande que celle qui la suit : 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 ; 1 dm3 = 1 000 cm3 ; 1 cm3 = 1 000 mm3.
En effet un cube de 1 dm d'arête, c'est un cube de 10 cm d'arête qui contient 10 × 10 × 10 = 1 000 cubes de 1 cm d'arête.
Définition
Les unités de capacité (contenance) mesurent aussi des volumes, en particulier de liquides. L'unité est le litre (L) : 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL. Les multiples : 1 daL = 10 L, 1 hL = 100 L.
Lien entre volume et capacité : 1 L = 1 dm3. Par conséquent : 1 mL = 1 cm3 et 1 m3 = 1 000 L.
| m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||
| 2 | 5 | 0 | 0 | ||||||||
| 0 | ,7 | 5 | 0 | ||||||||
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Il doit y avoir exactement 6 carrés.
- Il ne doit pas y avoir plus de 4 carrés alignés.
- Aucun groupe de 4 carrés ne doit former un grand carré (2 × 2) : sinon, deux faces se superposeraient au pliage.
Méthode 2
Dans le tableau, chaque unité de volume occupe trois colonnes. Le chiffre des unités se place dans la colonne de droite de l'unité donnée.
2,5 m3 = 2 500 dm3 = 2 500 L = 25 hL.
0,75 L = 75 cL = 750 mL = 750 cm3 = 0,75 dm3.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés