Solides et volumes — cours de 6e
Vocabulaire des solides, Perspective cavalière, Patrons, Volume du pavé droit et du cube Lecture ≈ 7 min.
1. Vocabulaire des solides
Un solide est un objet de l'espace (en trois dimensions). Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Il possède :
- des faces : les surfaces planes qui le délimitent ;
- des arêtes : les segments qui bordent les faces (chaque arête est commune à deux faces) ;
- des sommets : les points où se rejoignent les arêtes.
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide dont les 6 faces sont des rectangles. Il possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Ses faces opposées sont identiques (superposables) et parallèles. Ses dimensions sont sa longueur, sa largeur et sa hauteur.
Un cube est un pavé droit dont les 6 faces sont des carrés : ses 12 arêtes ont toutes la même longueur.
Une boîte à chaussures, une brique, un dictionnaire sont des pavés droits. Un dé à jouer est un cube.
Dans un pavé droit de dimensions 5 cm, 3 cm et 2 cm, il y a 4 arêtes de 5 cm, 4 arêtes de 3 cm et 4 arêtes de 2 cm. La longueur totale des arêtes est 4 × (5 + 3 + 2) = 40 cm.
- Prisme droit : deux bases polygonales identiques et parallèles, faces latérales rectangulaires.
- Cylindre : deux disques identiques et parallèles reliés par une surface courbe (boîte de conserve).
- Pyramide : une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
- Cône : une base en forme de disque et un sommet (cornet de glace).
- Boule : solide délimité par une sphère (ballon).
2. Perspective cavalière
La perspective cavalière est une façon de représenter un solide sur une feuille (en deux dimensions). Règles :
- la face de devant et la face de derrière sont dessinées en vraie grandeur (les angles droits restent droits) ;
- les arêtes « en profondeur » (fuyantes) sont dessinées parallèles entre elles, obliques (souvent à 45°), et réduites (souvent à la moitié de leur longueur réelle) ;
- les arêtes cachées sont dessinées en pointillés ;
- les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
Pour représenter un cube de 4 cm d'arête en perspective cavalière : on dessine un carré de 4 cm (face avant) ; à partir de trois de ses sommets, on trace des segments obliques de 2 cm (à 45°) ; on relie leurs extrémités pour former la face arrière ; on trace en pointillés les trois arêtes cachées.
Sur ce dessin, les faces latérales apparaissent comme des parallélogrammes bien qu'elles soient des carrés en réalité.
Sur la représentation en perspective cavalière du pavé droit ABCDEFGH (ABCD face avant, EFGH face arrière), les arêtes [AB], [DC], [HG] et [EF] sont parallèles et de même longueur dans la réalité. Sur le dessin, [AB] et [DC] apparaissent en vraie grandeur, [HG] et [EF] aussi (la face arrière est dessinée en vraie grandeur), tandis que [AE], [BF], [CG], [DH] sont raccourcies.
3. Patrons
Un patron d'un solide est une figure plane, d'un seul tenant, qui permet de fabriquer le solide par pliage. Il est constitué de toutes les faces du solide dessinées en vraie grandeur.
Un même solide possède plusieurs patrons différents.
Un patron de cube est formé de 6 carrés identiques. Il existe 11 patrons différents du cube. Le plus connu est en forme de croix : quatre carrés alignés, avec un carré de chaque côté du deuxième.
Un patron de pavé droit est formé de 6 rectangles : 3 paires de rectangles identiques.
- Il doit y avoir exactement 6 carrés.
- Il ne doit pas y avoir plus de 4 carrés alignés.
- Aucun groupe de 4 carrés ne doit former un grand carré (2 × 2) : sinon, deux faces se superposeraient au pliage.
Patron d'un pavé droit de dimensions 5 cm, 3 cm et 2 cm : il comporte deux rectangles de 5 × 3, deux rectangles de 5 × 2 et deux rectangles de 3 × 2, disposés de façon que les côtés qui se collent aient la même longueur. Par exemple : une bande de quatre rectangles alternant 5 × 3 et 5 × 2 (les faces latérales), avec les deux rectangles 3 × 2 attachés au-dessus et au-dessous d'un rectangle 5 × 3.
Sur un patron de cube, deux faces opposées ne sont jamais côte à côte. Dans le patron en croix, deux faces de la ligne de 4 séparées par une case (c'est-à-dire distantes de deux cases) sont opposées : la première et la troisième, la deuxième et la quatrième ; les deux « bras » de la croix sont opposés.
4. Volume du pavé droit et du cube
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. L'unité de volume est le mètre cube (m3) : c'est le volume d'un cube de 1 m d'arête. De même 1 cm3 est le volume d'un cube de 1 cm d'arête.
Le volume d'un pavé droit de longueur L, de largeur l et de hauteur h est : V = L × l × h
Le volume d'un cube d'arête a est : V = a × a × a (noté aussi a3).
Les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
Volume d'un pavé droit de dimensions 6 cm, 4 cm et 2,5 cm : V = 6 × 4 × 2,5 = 60 cm3.
Ce pavé a le même volume que 60 petits cubes de 1 cm d'arête : une couche d'épaisseur 1 cm en contient 6 × 4 = 24, et la hauteur vaut 2,5 fois 1 cm, d'où 24 × 2,5 = 60 cm3.
Volume d'un cube d'arête 3 cm : V = 3 × 3 × 3 = 27 cm3.
Une piscine a la forme d'un pavé droit de 25 m de long, 10 m de large et 1,8 m de profondeur. Son volume est V = 25 × 10 × 1,8 = 450 m3.
5. Unités de volume et de capacité
Chaque unité de volume est 1 000 fois plus grande que celle qui la suit : 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 ; 1 dm3 = 1 000 cm3 ; 1 cm3 = 1 000 mm3.
En effet un cube de 1 dm d'arête, c'est un cube de 10 cm d'arête qui contient 10 × 10 × 10 = 1 000 cubes de 1 cm d'arête.
Les unités de capacité (contenance) mesurent aussi des volumes, en particulier de liquides. L'unité est le litre (L) : 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL. Les multiples : 1 daL = 10 L, 1 hL = 100 L.
Lien entre volume et capacité : 1 L = 1 dm3. Par conséquent : 1 mL = 1 cm3 et 1 m3 = 1 000 L.
| m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||
| 2 | 5 | 0 | 0 | ||||||||
| 0 | ,7 | 5 | 0 | ||||||||
Dans le tableau, chaque unité de volume occupe trois colonnes. Le chiffre des unités se place dans la colonne de droite de l'unité donnée.
2,5 m3 = 2 500 dm3 = 2 500 L = 25 hL.
0,75 L = 75 cL = 750 mL = 750 cm3 = 0,75 dm3.
3 dm3 = 3 000 cm3 = 3 L ; 450 cm3 = 0,45 dm3 = 45 cL ; 12 000 L = 12 m3 ; 0,004 m3 = 4 dm3 = 4 L.
La piscine de l'exemple précédent (450 m3) contient 450 000 L d'eau.
Un aquarium a la forme d'un pavé droit de 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Combien de litres d'eau contient-il lorsqu'il est rempli aux trois quarts ?
Volume total : 60 × 30 × 40 = 72 000 cm3 = 72 dm3 = 72 L. Aux trois quarts : 72 × 3 ÷ 4 = 54 L.