Exercices corrigés — Les quatre opérations (6e)

125,7 + 38,45 : on aligne les virgules et l'on complète par des zéros, 125,70 + 38,45 = 164,15.
60 − 23,68 : on écrit 60,00 − 23,68 = 36,32. Vérification par l'addition : 36,32 + 23,68 = 60,00.
4,25 × 3,2 : on multiplie sans les virgules, 425 × 32 = 13 600 ; il y a 2 + 1 = 3 chiffres après la virgule en tout, donc 4,25 × 3,2 = 13,600 = 13,6. Ordre de grandeur : 4 × 3 = 12, cohérent.
91,2 ÷ 6 : dans 91, 6 va 15 fois (6 × 15 = 90), il reste 1 ; on abaisse le 2 en plaçant la virgule au quotient : 12 dixièmes ÷ 6 = 2 dixièmes. Donc 91,2 ÷ 6 = 15,2. Vérification : 15,2 × 6 = 91,2.

a) Multiplier par 100 décale la virgule de 2 rangs vers la droite : 34,5 × 100 = 3 450 (on complète par un zéro). Diviser par 10 la décale d'un rang vers la gauche : 7,2 ÷ 10 = 0,72. 0,05 × 1 000 = 50 (3 rangs vers la droite : 0,050 → 50). 1 250 ÷ 100 = 12,5 (2 rangs vers la gauche).
b) Ordre de grandeur : 198 est proche de 200 et 4,9 proche de 5, donc 198 × 4,9 ≈ 200 × 5 = 1 000. Valeur exacte : 198 × 4,9 = 198 × 5 − 198 × 0,1 = 990 − 19,8 = 970,2. Le résultat est bien proche de 1 000 : l'ordre de grandeur sert à repérer une erreur de virgule (97,02 ou 9 702 seraient faux).

On cherche combien de fois 9 est contenu dans 254 : 9 × 28 = 252 et 9 × 29 = 261 > 254. Le quotient est 28 et le reste est 254 − 252 = 2.
Le reste 2 est bien plus petit que le diviseur 9. Égalité : 254 = 9 × 28 + 2.
Interprétation : si l'on répartit 254 billes dans 9 sacs de façon équitable, chaque sac contient 28 billes et il reste 2 billes que l'on ne peut pas répartir.

A = 12 − 2 × 3 + 4. La multiplication est prioritaire : 2 × 3 = 6, donc A = 12 − 6 + 4. Puis on calcule de gauche à droite : 12 − 6 = 6, et 6 + 4 = 10. Donc A = 10. Calculer 12 − 2 = 10 d'abord (ce qui donnerait 34) serait une erreur.
B = (12 − 2) × (3 + 4). Les parenthèses sont prioritaires : 12 − 2 = 10 et 3 + 4 = 7. Donc B = 10 × 7 = 70.
Les mêmes nombres et les mêmes signes donnent 10 ou 70 selon les parenthèses : elles changent l'ordre des calculs.

a) Les multiples de 7 sont les résultats de la table de 7. On cherche ceux compris entre 50 et 80 : 7 × 7 = 49 est trop petit ; 7 × 8 = 56, 7 × 9 = 63, 7 × 10 = 70, 7 × 11 = 77 conviennent ; 7 × 12 = 84 est trop grand. Les multiples de 7 entre 50 et 80 sont 56, 63, 70 et 77.
b) Les diviseurs de 36 se trouvent par paires de nombres dont le produit vaut 36 : 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6. On s'arrête quand les deux facteurs se rejoignent. Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Il y en a 9 ; un nombre n'a jamais qu'un nombre fini de diviseurs.

Par 2 : le chiffre des unités doit être pair. 630 (0), 2 718 (8) et 5 000 (0) sont divisibles par 2 ; 1 245 ne l'est pas (5).
Par 3 : on additionne les chiffres. 630 : 6 + 3 + 0 = 9 ; 1 245 : 12 ; 2 718 : 18 ; 5 000 : 5. Les sommes 9, 12 et 18 sont dans la table de 3, donc 630, 1 245 et 2 718 sont divisibles par 3 ; 5 000 ne l'est pas.
Par 5 : le chiffre des unités doit être 0 ou 5. 630, 1 245 et 5 000 sont divisibles par 5 ; 2 718 ne l'est pas.
Par 9 : la somme des chiffres doit être divisible par 9. 630 (9) et 2 718 (18) le sont ; 1 245 (12) et 5 000 (5) ne le sont pas. Vérification : 2 718 = 9 × 302.

Étape 1, le prix des cahiers : 3 × 2,45 = 7,35 €.
Étape 2, le prix total : 7,35 + 4,80 = 12,15 €.
Étape 3, la monnaie rendue : 20 − 12,15 = 7,85 €. On peut vérifier : 12,15 + 7,85 = 20.
Ordre de grandeur : 3 cahiers à environ 2,50 € font 7,50 €, plus environ 5 € de classeur, soit 12,50 € ; il reste environ 7,50 €. Le résultat 7,85 € est cohérent. On lui rend 7,85 €.

On effectue la division euclidienne de 380 par 54 : 54 × 7 = 378 et 54 × 8 = 432 > 380. Donc 380 = 54 × 7 + 2.
Avec 7 cars, on transporte 378 élèves : il en reste 2 sans place. Il faut donc un car de plus pour ces 2 élèves.
Il faut 8 cars. Dans ce type de problème, quand le reste n'est pas nul, la réponse est le quotient plus 1 : on ne peut pas laisser des élèves sur le bord de la route, ni prendre « 7,04 car ».