Les quatre opérations — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 14 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Addition et soustraction
Définition
Le résultat d'une addition s'appelle une somme. Les nombres que l'on additionne sont les termes de la somme.
Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. Les nombres que l'on soustrait sont les termes de la différence.
Exemple : dans 12,5 + 3 = 15,5, la somme est 15,5 et les termes sont 12,5 et 3. Dans 20 − 4,5 = 15,5, la différence est 15,5.
Propriété
Dans une addition, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut sans changer le résultat : 7 + 18 + 3 = 7 + 3 + 18 = 10 + 18 = 28.
Ce n'est pas le cas pour la soustraction : 10 − 3 ≠ 3 − 10.
2. Multiplication
Définition
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Les nombres que l'on multiplie sont les facteurs.
Exemple : dans 6 × 2,5 = 15, le produit est 15 et les facteurs sont 6 et 2,5.
Propriété
Dans une multiplication, on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper sans changer le résultat : 25 × 17 × 4 = 25 × 4 × 17 = 100 × 17 = 1 700.
Multiplier par 0 donne toujours 0. Multiplier par 1 ne change pas le nombre.
Propriété
Multiplier un nombre par 10 (resp. 100, 1 000) revient à décaler la virgule de 1 (resp. 2, 3) rang(s) vers la droite : chaque chiffre prend une valeur 10 fois plus grande.
Diviser un nombre par 10 (resp. 100, 1 000) revient à décaler la virgule de 1 (resp. 2, 3) rang(s) vers la gauche.
Exemples : 3,47 × 100 = 347 ; 5,2 × 1 000 = 5 200 ; 63 ÷ 10 = 6,3 ; 0,8 ÷ 100 = 0,008.
Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10 ; multiplier par 0,01 revient à diviser par 100.
Propriété
Multiplier un nombre non nul par un nombre plus grand que 1 donne un résultat plus grand que ce nombre. Multiplier un nombre non nul par un nombre compris entre 0 et 1 donne un résultat plus petit que ce nombre.
Exemple : 8 × 0,5 = 4 (plus petit que 8) ; 8 × 1,5 = 12 (plus grand que 8).
3. Ordre de grandeur
Définition
Un ordre de grandeur d'un résultat est une valeur approchée simple, obtenue en remplaçant les nombres par des nombres proches et « ronds ». Il sert à prévoir ou à vérifier un résultat.
4. Division euclidienne
Définition
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier a (le dividende) par un nombre entier b non nul (le diviseur), c'est trouver deux nombres entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que :
a = b × q + r avec r < b.
Propriété
Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur. Si le reste est 0, on dit que la division « tombe juste » : le dividende est alors un multiple du diviseur et le diviseur est un diviseur du dividende.
5. Division décimale
Définition
Le quotient de a par b (b ≠ 0) est le nombre qui, multiplié par b, donne a. On le note a ÷ b ou ab.
Le quotient peut être un nombre décimal (12 ÷ 5 = 2,4) ou ne pas être décimal (10 ÷ 3 = 3,333... : on ne peut alors en donner qu'une valeur approchée).
6. Priorités de calcul simples et calculs avec parenthèses
Propriété
Dans une suite de calculs :
- on effectue d'abord les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
- puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Propriété
Pour multiplier une somme par un nombre, on peut multiplier chaque terme puis additionner : k × (a + b) = k × a + k × b.
De même : k × (a − b) = k × a − k × b.
Exemples : 7 × 102 = 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714 ; 6 × 98 = 6 × 100 − 6 × 2 = 600 − 12 = 588.
7. Multiples et diviseurs
Définition
Soient a et b deux nombres entiers (b ≠ 0). On dit que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a, ou que a est divisible par b, lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est 0.
Autrement dit : a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b × k.
Propriété
Un nombre entier est divisible :
- par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (c'est un nombre pair) ;
- par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
- par 10 si son chiffre des unités est 0 ;
- par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- On aligne les virgules les unes sous les autres (donc les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, etc.).
- On peut compléter avec des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.
- On calcule comme avec des entiers, en n'oubliant pas les retenues, et on place la virgule dans le résultat sous les autres virgules.
Méthode 2
- On pose la multiplication sans tenir compte des virgules (on aligne les chiffres à droite).
- On effectue le calcul comme pour des entiers.
- On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs ; on place la virgule dans le résultat pour qu'il y ait autant de chiffres après la virgule.
Méthode 3
- On effectue la division du dividende par le diviseur comme une division euclidienne.
- Lorsqu'on « passe » la virgule du dividende, on place une virgule dans le quotient.
- On peut continuer la division en ajoutant des zéros au dividende (après la virgule) jusqu'à obtenir un reste nul ou la précision voulue.
Si le diviseur est décimal, on multiplie dividende et diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour rendre le diviseur entier : 7,5 ÷ 2,5 = 75 ÷ 25 = 3.
Méthode 4
- Lire l'énoncé en entier, repérer la question et les données utiles.
- Choisir l'opération adaptée (« en tout » : addition ; « reste », « différence », « de plus » : soustraction ; « fois », « chacun » : multiplication ; « partager », « répartir », « combien de fois » : division).
- Écrire le calcul, l'effectuer, vérifier avec un ordre de grandeur.
- Rédiger une phrase-réponse avec l'unité.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés