Les quatre opérations — cours de 6e
Addition et soustraction, Multiplication, Ordre de grandeur, Division euclidienne Lecture ≈ 9 min.
1. Addition et soustraction
Le résultat d'une addition s'appelle une somme. Les nombres que l'on additionne sont les termes de la somme.
Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. Les nombres que l'on soustrait sont les termes de la différence.
Exemple : dans 12,5 + 3 = 15,5, la somme est 15,5 et les termes sont 12,5 et 3. Dans 20 − 4,5 = 15,5, la différence est 15,5.
Dans une addition, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut sans changer le résultat : 7 + 18 + 3 = 7 + 3 + 18 = 10 + 18 = 28.
Ce n'est pas le cas pour la soustraction : 10 − 3 ≠ 3 − 10.
- On aligne les virgules les unes sous les autres (donc les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, etc.).
- On peut compléter avec des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.
- On calcule comme avec des entiers, en n'oubliant pas les retenues, et on place la virgule dans le résultat sous les autres virgules.
Calculer 47,8 + 5,63.
4 7 , 8 0 + 5 , 6 3 ----------- 5 3 , 4 3
Calculer 30,2 − 12,75.
3 0 , 2 0 - 1 2 , 7 5 ----------- 1 7 , 4 5
Vérification : 17,45 + 12,75 = 30,20. C'est correct.
2. Multiplication
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Les nombres que l'on multiplie sont les facteurs.
Exemple : dans 6 × 2,5 = 15, le produit est 15 et les facteurs sont 6 et 2,5.
Dans une multiplication, on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper sans changer le résultat : 25 × 17 × 4 = 25 × 4 × 17 = 100 × 17 = 1 700.
Multiplier par 0 donne toujours 0. Multiplier par 1 ne change pas le nombre.
Multiplier un nombre par 10 (resp. 100, 1 000) revient à décaler la virgule de 1 (resp. 2, 3) rang(s) vers la droite : chaque chiffre prend une valeur 10 fois plus grande.
Diviser un nombre par 10 (resp. 100, 1 000) revient à décaler la virgule de 1 (resp. 2, 3) rang(s) vers la gauche.
Exemples : 3,47 × 100 = 347 ; 5,2 × 1 000 = 5 200 ; 63 ÷ 10 = 6,3 ; 0,8 ÷ 100 = 0,008.
Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10 ; multiplier par 0,01 revient à diviser par 100.
- On pose la multiplication sans tenir compte des virgules (on aligne les chiffres à droite).
- On effectue le calcul comme pour des entiers.
- On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs ; on place la virgule dans le résultat pour qu'il y ait autant de chiffres après la virgule.
Calculer 3,24 × 1,5.
3 2 4
× 1 5
---------
1 6 2 0
3 2 4 .
---------
4 8 6 0
Il y a 2 chiffres après la virgule dans 3,24 et 1 dans 1,5, soit 3 en tout. Donc 3,24 × 1,5 = 4,860 = 4,86.
Ordre de grandeur pour vérifier : 3 × 1,5 = 4,5. Le résultat 4,86 est cohérent.
Multiplier un nombre non nul par un nombre plus grand que 1 donne un résultat plus grand que ce nombre. Multiplier un nombre non nul par un nombre compris entre 0 et 1 donne un résultat plus petit que ce nombre.
Exemple : 8 × 0,5 = 4 (plus petit que 8) ; 8 × 1,5 = 12 (plus grand que 8).
3. Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur d'un résultat est une valeur approchée simple, obtenue en remplaçant les nombres par des nombres proches et « ronds ». Il sert à prévoir ou à vérifier un résultat.
Ordre de grandeur de 398 × 5,1 : 400 × 5 = 2 000. Le résultat exact est 2 029,8.
Ordre de grandeur de 1 987 + 3 021 : 2 000 + 3 000 = 5 000. Le résultat exact est 5 008.
4. Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier a (le dividende) par un nombre entier b non nul (le diviseur), c'est trouver deux nombres entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que :
a = b × q + r avec r < b.
Division euclidienne de 173 par 7 :
1 7 3 | 7
- 1 4 |----
--- | 2 4
3 3
- 2 8
---
5
173 = 7 × 24 + 5 avec 5 < 7. Le quotient est 24 et le reste est 5.
Interprétation : si l'on répartit 173 billes dans 7 sacs de façon équitable, chaque sac contient 24 billes et il reste 5 billes.
Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur. Si le reste est 0, on dit que la division « tombe juste » : le dividende est alors un multiple du diviseur et le diviseur est un diviseur du dividende.
5. Division décimale
Le quotient de a par b (b ≠ 0) est le nombre qui, multiplié par b, donne a. On le note a ÷ b ou ab.
Le quotient peut être un nombre décimal (12 ÷ 5 = 2,4) ou ne pas être décimal (10 ÷ 3 = 3,333... : on ne peut alors en donner qu'une valeur approchée).
- On effectue la division du dividende par le diviseur comme une division euclidienne.
- Lorsqu'on « passe » la virgule du dividende, on place une virgule dans le quotient.
- On peut continuer la division en ajoutant des zéros au dividende (après la virgule) jusqu'à obtenir un reste nul ou la précision voulue.
Si le diviseur est décimal, on multiplie dividende et diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour rendre le diviseur entier : 7,5 ÷ 2,5 = 75 ÷ 25 = 3.
Calculer 47,5 ÷ 4.
4 7 , 5 | 4
- 4 |--------
- | 1 1 , 8 7 5
7
- 4
---
3 5
- 3 2
---
3 0
- 2 8
---
2 0
- 2 0
---
0
47,5 ÷ 4 = 11,875. Vérification : 11,875 × 4 = 47,5.
Calculer 22 ÷ 7 en donnant une valeur approchée au centième.
22 ÷ 7 = 3,142857... La division ne tombe pas juste. Une valeur approchée au centième est 3,14 (arrondi).
6. Priorités de calcul simples et calculs avec parenthèses
Dans une suite de calculs :
- on effectue d'abord les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
- puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
A = 5 + 3 × 4. On calcule d'abord 3 × 4 = 12, puis 5 + 12 = 17. Donc A = 17 (et non 32).
B = (5 + 3) × 4 = 8 × 4 = 32.
C = 20 − 8 ÷ 2 + 1 = 20 − 4 + 1 = 16 + 1 = 17.
Pour multiplier une somme par un nombre, on peut multiplier chaque terme puis additionner : k × (a + b) = k × a + k × b.
De même : k × (a − b) = k × a − k × b.
Exemples : 7 × 102 = 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714 ; 6 × 98 = 6 × 100 − 6 × 2 = 600 − 12 = 588.
7. Multiples et diviseurs
Soient a et b deux nombres entiers (b ≠ 0). On dit que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a, ou que a est divisible par b, lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est 0.
Autrement dit : a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b × k.
56 = 7 × 8 : donc 56 est un multiple de 7 et de 8 ; 7 et 8 sont des diviseurs de 56.
Les multiples de 6 sont : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... (il y en a une infinité).
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 (il y en a un nombre fini). On les trouve en cherchant les produits égaux à 24 : 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6.
Un nombre entier est divisible :
- par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (c'est un nombre pair) ;
- par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
- par 10 si son chiffre des unités est 0 ;
- par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Le nombre 4 725 :
- se termine par 5 : il est divisible par 5, mais pas par 2 ni par 10 ;
- somme des chiffres : 4 + 7 + 2 + 5 = 18 ; 18 est divisible par 3 et par 9, donc 4 725 est divisible par 3 et par 9.
Vérification : 4 725 = 9 × 525 = 5 × 945 = 3 × 1 575.
8. Résoudre un problème
- Lire l'énoncé en entier, repérer la question et les données utiles.
- Choisir l'opération adaptée (« en tout » : addition ; « reste », « différence », « de plus » : soustraction ; « fois », « chacun » : multiplication ; « partager », « répartir », « combien de fois » : division).
- Écrire le calcul, l'effectuer, vérifier avec un ordre de grandeur.
- Rédiger une phrase-réponse avec l'unité.
Un collège commande 28 boîtes de 12 stylos à 0,85 € le stylo. Combien coûte la commande ?
Nombre de stylos : 28 × 12 = 336. Prix : 336 × 0,85 = 285,6. La commande coûte 285,60 €.
Ordre de grandeur : 30 × 12 × 1 = 360, cohérent avec 285,60 (un peu inférieur car on a arrondi vers le haut).