Exercices corrigés — Géométrie plane : vocabulaire, droites perpendiculaires et parallèles (6e)

(EF), avec des parenthèses, désigne la droite passant par les points E et F : une ligne illimitée des deux côtés.
[EF], avec des crochets, désigne le segment d'extrémités E et F : la partie de la droite comprise entre E et F.
EF, sans parenthèses ni crochets, désigne la longueur du segment [EF] : c'est un nombre, par exemple EF = 5 cm.
[EF), avec un crochet puis une parenthèse, désigne la demi-droite d'origine E passant par F : elle commence en E et se prolonge indéfiniment du côté de F. La demi-droite [FE) est différente : elle commence en F et va du côté de E.

C ∈ (AB) : les points A, B, C sont alignés, donc C est sur la droite passant par A et B.
D ∉ (AB) : l'énoncé précise que D n'est pas sur cette droite.
B ∈ [AC] : B est sur la droite (AC) et situé entre A et C, il appartient donc au segment [AC].
A ∉ [BC) : la demi-droite [BC) part de B et va du côté de C ; or A est de l'autre côté de B (l'ordre est A, B, C). Le point A est sur la droite (BC), mais pas sur cette demi-droite. Il appartiendrait à la demi-droite [CB).

Le milieu M de [RS] est le point du segment situé à égale distance de R et de S : RM = MS = RS ÷ 2.
RM = 9,4 ÷ 2 = 4,7 cm.
MS vaut aussi 4,7 cm, et l'on vérifie que 4,7 + 4,7 = 9,4 = RS.
Attention : un point à 4,7 cm de R n'est pas forcément le milieu ; il y a une infinité de points à cette distance de R (ils forment un cercle). Le milieu est celui qui est sur le segment [RS].

Le diamètre d'un cercle est le double de son rayon : rayon = diamètre ÷ 2 = 11 ÷ 2 = 5,5 cm.
Une corde est un segment qui joint deux points du cercle. La plus grande corde possible est un diamètre : elle passe par le centre et mesure 11 cm.
Toute autre corde, qui ne passe pas par le centre, est plus courte que le diamètre.
Un rayon, lui, joint le centre à un point du cercle : ce n'est pas une corde, et il mesure 5,5 cm.

a) Tous les points situés à 3 cm de O forment le cercle de centre O et de rayon 3 cm. On le trace au compas, en écartant les branches de 3 cm et en piquant en O.
b) M n'est pas sur ce cercle, car OM = 2 cm et non 3 cm. En revanche, M appartient au disque de centre O et de rayon 3 cm, car sa distance à O, 2 cm, est inférieure à 3 cm : il est à l'intérieur du cercle.
c) N et P sont sur le cercle (ils sont à 3 cm de O). Le segment [NP] joint deux points du cercle et passe par le centre O : c'est un diamètre.
Sa longueur est NP = NO + OP = 3 + 3 = 6 cm, le double du rayon.

On sait que (d₁) et (d₃) sont toutes les deux parallèles à la même droite (d₂).
Or, si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (d₁) // (d₃).
Une justification en géométrie suit toujours ce plan en trois temps : ce que l'on sait (les données), la propriété utilisée, la conclusion. Ici, on ne mesure rien sur la figure : on raisonne.

a) On sait que (d₁) et (d₂) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (Δ). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (d₁) // (d₂).
b) On sait que (d₃) // (d₁) et que (Δ) ⊥ (d₁). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre. Donc (Δ) ⊥ (d₃).
Sur la figure, les trois droites (d₁), (d₂) et (d₃) sont parallèles entre elles, et (Δ) les coupe toutes à angle droit, comme les barreaux d'une échelle coupés par un montant.

La droite (AH) est la perpendiculaire à (d) passant par A : on a (AH) ⊥ (d). La parallèle à (d) passant par A est une droite (d') telle que (d') // (d).
On sait que (d) // (d') et que (AH) ⊥ (d). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc (AH) ⊥ (d').
L'angle formé par (AH) et la parallèle est donc un angle droit, que l'on code par un petit carré au point A.
Le point H s'appelle le pied de la perpendiculaire ; la longueur AH est la distance du point A à la droite (d), c'est le plus court chemin de A à (d). C'est d'ailleurs ainsi que l'on construit une parallèle à l'équerre : deux angles droits successifs.