Géométrie plane : vocabulaire, droites perpendiculaires et parallèles — cours de 6e
Points, droites, segments, demi-droites, Cercle et disque, Droites perpendiculaires, Droites parallèles Lecture ≈ 5 min.
1. Points, droites, segments, demi-droites
Un point est un lieu précis, sans dimension. On le représente par une petite croix et on le nomme par une lettre majuscule : A, B, M...
Une droite est une ligne droite illimitée des deux côtés. Elle est définie par deux de ses points : la droite passant par A et B se note (AB). On peut aussi la nommer par une lettre minuscule entre parenthèses : (d).
Un segment est la portion de droite limitée par deux points appelés ses extrémités. Le segment d'extrémités A et B se note [AB]. Sa longueur se note AB (sans crochets).
Une demi-droite est la portion de droite limitée d'un seul côté par un point appelé son origine. La demi-droite d'origine A passant par B se note [AB).
| Notation | Signification |
|---|---|
| (AB) | la droite passant par A et B (illimitée) |
| [AB] | le segment d'extrémités A et B |
| AB | la longueur du segment [AB] (un nombre) |
| [AB) | la demi-droite d'origine A passant par B |
| A ∈ (d) | le point A appartient à la droite (d) |
| A ∉ (d) | le point A n'appartient pas à la droite (d) |
Par deux points distincts, il passe une seule droite.
Trois points (ou plus) qui appartiennent à une même droite sont dits alignés.
Le milieu d'un segment [AB] est le point I de ce segment situé à égale distance de A et de B : I ∈ [AB] et IA = IB = AB ÷ 2.
Si AB = 7 cm et I est le milieu de [AB], alors AI = IB = 3,5 cm.
Attention : un point M tel que MA = MB n'est pas forcément le milieu de [AB] ; il faut aussi que M soit sur le segment [AB].
Deux droites qui ont un seul point commun sont sécantes ; ce point commun est leur point d'intersection.
2. Cercle et disque
Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble de tous les points situés à la distance r du point O.
Le disque de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à r de O (le cercle et son intérieur).
- Un rayon est un segment joignant le centre à un point du cercle (on appelle aussi rayon la longueur de ce segment).
- Une corde est un segment joignant deux points du cercle.
- Un diamètre est une corde qui passe par le centre. Sa longueur est le double du rayon : d = 2 × r.
- Un arc de cercle est une portion de cercle comprise entre deux de ses points.
Soit un cercle de centre O et de rayon 3 cm, et A, B deux points de ce cercle. Alors OA = OB = 3 cm. [OA] et [OB] sont des rayons ; [AB] est une corde. Si A, O, B sont alignés, [AB] est un diamètre et AB = 6 cm.
« Le point M est à 4 cm du point O » signifie que M appartient au cercle de centre O et de rayon 4 cm. Pour placer tous les points à 4 cm de O, on trace ce cercle au compas.
3. Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes en formant un angle droit (90°). On note (d) ⊥ (d').
Sur une figure, l'angle droit se code par un petit carré.
- On place un côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (d).
- On fait glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par le point A.
- On trace la droite le long de ce côté ; on prolonge à la règle si besoin, et on code l'angle droit.
Par un point donné, il passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
4. Droites parallèles
Deux droites sont parallèles lorsqu'elles n'ont aucun point commun (elles ne se coupent jamais, même prolongées) ou lorsqu'elles sont confondues. On note (d) // (d').
- On trace, à l'équerre, la perpendiculaire (Δ) à (d) passant par le point A.
- On trace, à l'équerre, la perpendiculaire à (Δ) passant par A : c'est la parallèle cherchée.
On peut aussi faire glisser l'équerre le long d'une règle maintenue fixe.
Par un point donné, il passe une seule droite parallèle à une droite donnée.
5. Propriétés liant parallèles et perpendiculaires
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si (d1) ⊥ (Δ) et (d2) ⊥ (Δ), alors (d1) // (d2).
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre.
Si (d1) // (d2) et (Δ) ⊥ (d1), alors (Δ) ⊥ (d2).
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Si (d1) // (d3) et (d2) // (d3), alors (d1) // (d2).
Sur une figure, (AB) ⊥ (AD) et (DC) ⊥ (AD). Que peut-on dire des droites (AB) et (DC) ?
On sait que (AB) et (DC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AD).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.
Donc (AB) // (DC).
On sait que (d1) // (d2) et que (d3) ⊥ (d1). Comme (d3) est perpendiculaire à (d1) et que (d1) et (d2) sont parallèles, la droite (d3) est aussi perpendiculaire à (d2) (propriété 2).
6. Codage d'une figure
Le codage d'une figure est un ensemble de symboles qui indiquent ses propriétés sans avoir à mesurer :
- un petit carré dans un angle indique un angle droit ;
- des segments marqués d'un même signe (un trait, deux traits, une croix...) ont la même longueur ;
- des angles marqués du même arc ont la même mesure.
Sur une figure « à main levée », c'est le codage (et non les mesures apparentes) qui fait foi.
- Lire tout le programme, faire une figure à main levée en reportant les codages.
- Réaliser la construction propre avec les instruments (règle, équerre, compas), en respectant l'ordre des étapes.
- Coder la figure finale et nommer les points.