Exercices corrigés — Aires (6e)

Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois la suivante : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Dans le tableau de conversion, chaque unité occupe deux colonnes.
7 m² en cm² : 7 × 10 000 = 70 000 cm². 4 500 mm² en cm² : 1 cm² = 100 mm², donc 4 500 ÷ 100 = 45 cm².
0,35 ha en m² : 1 ha = 10 000 m², donc 0,35 × 10 000 = 3 500 m².
250 000 m² en km² : 1 km² = 1 000 000 m², donc 250 000 ÷ 1 000 000 = 0,25 km². Erreur fréquente : décaler la virgule d'un seul rang par unité, comme pour les longueurs ; pour les aires, c'est deux rangs.

a) Rectangle : périmètre 2 × (8 + 2) = 20 cm, aire 8 × 2 = 16 cm². Carré : périmètre 4 × 5 = 20 cm, aire 5 × 5 = 25 cm².
Les deux figures ont le même périmètre, 20 cm, mais pas la même aire : le carré occupe plus de place. Périmètre et aire sont deux grandeurs différentes, l'une ne se déduit pas de l'autre.
b) 6 demi-carreaux forment 3 carreaux entiers. La figure a une aire de 9 + 3 = 12 cm².
Compter des carreaux est la première façon de mesurer une aire ; les formules servent quand la figure a une forme connue.

Aire d'un rectangle : longueur × largeur. 15 × 6,4 = 96, donc l'aire est 96 cm² (15 × 6 = 90 et 15 × 0,4 = 6). Les deux longueurs sont en cm, l'aire est en cm².
Aire d'un carré : côté × côté. 2,5 × 2,5 = 6,25, donc l'aire est 6,25 dm².
En cm² : 1 dm² = 100 cm², donc 6,25 × 100 = 625 cm². Vérification : le côté mesure 25 cm et 25 × 25 = 625 cm².
Attention : quand on passe de dm à cm, la longueur est multipliée par 10, mais l'aire est multipliée par 100.

a) Aire = longueur × largeur, donc longueur = aire ÷ largeur = 54 ÷ 6 = 9 cm. Vérification : 9 × 6 = 54. Périmètre : 2 × (9 + 6) = 2 × 15 = 30 cm.
b) L'aire d'un carré est côté × côté ; on cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, donc le côté mesure 7 cm.
Périmètre : 4 × 7 = 28 cm.
Un problème inverse se résout en « défaisant » la formule : une multiplication se défait par une division.

Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle dont les côtés sont les deux côtés de l'angle droit : aire = (5 × 12) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 cm². L'hypoténuse ne sert pas dans ce calcul.
Le périmètre est la somme des trois côtés : 5 + 12 + 13 = 30 cm. Ici l'hypoténuse sert.
Les deux résultats s'écrivent avec le nombre 30, mais ce sont des grandeurs différentes : 30 cm² (une aire) et 30 cm (une longueur). Ce n'est qu'une coïncidence.
Remarque : 5, 12, 13 est un triplet de longueurs qui donne un triangle rectangle, comme 3, 4, 5.

a) Aire d'un triangle = (base × hauteur) ÷ 2, la hauteur étant celle relative à la base choisie : (12 × 5) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 cm².
Explication de la formule : le triangle est la moitié d'un rectangle de 12 cm sur 5 cm, d'aire 60 cm².
b) On défait la formule : base × hauteur = aire × 2 = 42 × 2 = 84. Donc hauteur = 84 ÷ 12 = 7 cm.
Vérification : (12 × 7) ÷ 2 = 42. La hauteur est perpendiculaire à la base ; elle peut tomber à l'extérieur du triangle si un angle est obtus, la formule reste la même.

L'aire d'un disque de rayon r est A = π × r × r. Ici r = 4 cm : A = π × 4 × 4 = 16π cm², c'est la valeur exacte.
Valeur approchée : 16 × 3,14 = 50,24, soit environ 50 cm² à l'unité.
Deux erreurs à éviter : utiliser le diamètre (8 × 8 × π donnerait quatre fois trop) et confondre avec le périmètre 2 × π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm.
Contrôle : le disque est contenu dans un carré de côté 8 cm, d'aire 64 cm² ; l'aire 50 cm² est bien un peu plus petite.

Aire du jardin : 20 × 12 = 240 m².
La piscine a un diamètre de 6 m, donc un rayon de 3 m. Aire de la piscine : π × 3 × 3 = 9π ≈ 28,27 m².
La pelouse est le jardin sans la piscine : 240 − 28,27 ≈ 211,73 m².
Arrondie au m², l'aire de la pelouse est environ 212 m². Méthode : quand une figure en contient une autre, on soustrait les aires ; on garde le plus de décimales possible et l'on n'arrondit qu'à la fin.