Aires — cours de 6e
Notion d'aire et unités, Aire du rectangle et du carré, Aire du triangle rectangle, Aire d'un triangle quelconque Lecture ≈ 6 min.
1. Notion d'aire et unités
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, c'est-à-dire de la place qu'elle occupe dans le plan. Pour mesurer une aire, on compte combien de fois une surface unité (par exemple un carré de 1 cm de côté) recouvre la figure.
Il ne faut pas confondre aire et périmètre : deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes, ou la même aire et des périmètres différents.
Un rectangle de 6 cm sur 1 cm et un carré de côté 3,5 cm ont tous deux un périmètre de 14 cm ; mais leurs aires sont 6 cm2 et 12,25 cm2.
Sur un quadrillage dont chaque carreau a une aire de 1 cm2, une figure qui recouvre 7 carreaux entiers et 4 demi-carreaux a une aire de 7 + 2 = 9 cm2.
L'unité d'aire usuelle est le mètre carré (m2) : c'est l'aire d'un carré de 1 m de côté. De même 1 cm2 est l'aire d'un carré de 1 cm de côté.
Pour les terrains, on utilise aussi l'are (1 a = 100 m2 = 1 dam2) et l'hectare (1 ha = 10 000 m2 = 1 hm2).
Chaque unité d'aire est 100 fois plus grande que celle qui la suit : 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 ; 1 km2 = 1 000 000 m2.
En effet un carré de 1 m de côté, c'est un carré de 10 dm de côté, qui contient 10 × 10 = 100 carrés de 1 dm de côté.
| km2 | hm2 (ha) | dam2 (a) | m2 | dm2 | cm2 | mm2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||||||
| 2 | ,4 | 0 | 0 | 0 | |||||||||
Dans le tableau, chaque unité occupe deux colonnes. On place le chiffre des unités dans la colonne de droite de l'unité donnée, puis on complète avec des zéros.
3 m2 = 300 dm2 = 30 000 cm2. 2,4 ha = 240 a = 24 000 m2.
Sans tableau : passer à l'unité immédiatement plus petite, c'est multiplier par 100 ; passer à l'unité immédiatement plus grande, c'est diviser par 100.
5,2 m2 = 520 dm2 = 52 000 cm2.
875 cm2 = 8,75 dm2 = 0,0875 m2.
3 ha = 30 000 m2 ; 0,5 km2 = 50 ha = 500 000 m2.
2. Aire du rectangle et du carré
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est : A = L × l
L'aire d'un carré de côté c est : A = c × c (noté aussi c2).
Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité ; l'aire s'exprime dans l'unité d'aire correspondante (cm et cm2, m et m2).
Aire d'un rectangle de 7 cm sur 4,5 cm : A = 7 × 4,5 = 31,5 cm2.
Aire d'un carré de côté 9 m : A = 9 × 9 = 81 m2.
Aire d'un rectangle de 2 m sur 60 cm : on convertit 60 cm = 0,6 m ; A = 2 × 0,6 = 1,2 m2 (ou 200 × 60 = 12 000 cm2, ce qui est bien égal à 1,2 m2).
Un rectangle a une aire de 45 cm2 et une largeur de 5 cm. Sa longueur est 45 ÷ 5 = 9 cm.
3. Aire du triangle rectangle
Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle (on le voit en traçant la diagonale d'un rectangle). Si les deux côtés de l'angle droit mesurent a et b, alors :
A = (a × b) ÷ 2
Triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 8 cm : A = (6 × 8) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm2.
Attention : la longueur de l'hypoténuse (ici 10 cm) n'intervient pas dans le calcul de l'aire.
4. Aire d'un triangle quelconque
Dans un triangle, une hauteur est un segment (ou une droite) passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Ce côté opposé est appelé la base relative à cette hauteur.
Un triangle a trois hauteurs.
L'aire d'un triangle est : A = (base × hauteur) ÷ 2, où la hauteur est celle relative à la base choisie.
Triangle ABC avec BC = 10 cm et la hauteur issue de A mesurant 4 cm : A = (10 × 4) ÷ 2 = 20 cm2.
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont une base et la hauteur correspondante : on retrouve la formule du 3.
Un triangle a une aire de 36 cm2 et une base de 9 cm. Quelle est la hauteur relative à cette base ?
base × hauteur = 36 × 2 = 72, donc hauteur = 72 ÷ 9 = 8 cm.
5. Aire du disque
L'aire d'un disque de rayon r est : A = π × r × r = π × r2
Attention : dans la formule de l'aire, c'est le rayon qui intervient (et non le diamètre), et il est multiplié deux fois.
Aire d'un disque de rayon 3 cm : A = π × 3 × 3 = 9π ≈ 9 × 3,14 = 28,26 cm2, soit environ 28,3 cm2.
Aire d'un disque de diamètre 10 m : le rayon est 5 m ; A = π × 5 × 5 = 25π ≈ 78,5 m2.
Pour un cercle de rayon 2 cm : périmètre = 2 × π × 2 = 4π ≈ 12,6 cm ; aire = π × 2 × 2 = 4π ≈ 12,6 cm2. Les nombres sont égaux mais les grandeurs sont différentes (une longueur et une aire).
6. Aire d'une figure composée
Pour calculer l'aire d'une figure compliquée, on la découpe en figures simples (rectangles, triangles, demi-disques...) dont on additionne les aires, ou on la complète en une figure simple dont on soustrait les parties ajoutées.
Une figure en forme de L est formée d'un rectangle de 8 cm sur 3 cm et d'un rectangle de 3 cm sur 4 cm collés. Son aire est 8 × 3 + 3 × 4 = 24 + 12 = 36 cm2.
Un cadre carré de 20 cm de côté entoure une photo carrée de 15 cm de côté. L'aire du cadre visible est 20 × 20 − 15 × 15 = 400 − 225 = 175 cm2.
Une fenêtre est formée d'un rectangle de 1,2 m de large et 1,5 m de haut surmonté d'un demi-disque de diamètre 1,2 m (rayon 0,6 m).
Aire du rectangle : 1,2 × 1,5 = 1,8 m2. Aire du demi-disque : (π × 0,6 × 0,6) ÷ 2 ≈ 1,1304 ÷ 2 ≈ 0,565 m2. Aire totale ≈ 2,37 m2.