Exercices corrigés — Symétrie centrale (5e)

a) Le symétrique de A par rapport à O est le point A' tel que O soit le milieu de [AA']. Pour aller de A à O, on se déplace de 3 unités vers la gauche et de 2 unités vers le bas ; on refait le même déplacement à partir de O : on arrive en A'(−3 ; −2).
Règle : le symétrique par rapport à l'origine a pour coordonnées les opposées de celles du point de départ.
b) B(−4 ; 1) a pour symétrique B'(4 ; −1). C(0 ; −5) a pour symétrique C'(0 ; 5) : C est sur l'axe des ordonnées, et son symétrique aussi.
Vérification pour A : le milieu de [AA'] a pour abscisse (3 + (−3)) ÷ 2 = 0 et pour ordonnée (2 + (−2)) ÷ 2 = 0, c'est bien l'origine.

a) Par définition de la symétrie centrale, dire que I est le symétrique de J par rapport à K signifie que K est le milieu du segment [IJ]. Les points I, K et J sont donc alignés, K entre I et J.
b) Le milieu partage le segment en deux longueurs égales : IK = KJ = IJ ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 cm.
c) K est le milieu de [IJ], donc J est aussi le symétrique de I par rapport à K : la symétrie centrale échange les deux points, comme un demi-tour suivi d'un demi-tour ramène au départ.
Le symétrique du centre K par rapport à K est K lui-même : c'est le seul point qui ne bouge pas.

a) Le symétrique par rapport à O s'obtient par un demi-tour autour de O : le déplacement de M vers O (3 carreaux à gauche, 2 en bas) se refait à partir de O. M' est donc à 3 carreaux à gauche et 2 carreaux en bas de O.
Contrôle : M, O et M' sont alignés, et O est au milieu de [MM'], car OM et OM' correspondent au même déplacement.
b) Construction : tracer la droite (OP). Piquer le compas en O avec l'écartement OP, et reporter cette longueur sur la droite (OP), de l'autre côté de O. Le point obtenu est P' : il vérifie OP' = OP et O est le milieu de [PP'].
Erreur à éviter : reporter la longueur du même côté que P, ce qui redonne P.

a) La symétrie centrale conserve les longueurs et les mesures d'angles. Chaque côté de E'F'G' a la même longueur que le côté correspondant de EFG, donc le périmètre de E'F'G' est aussi 20 cm. L'angle E' mesure 72° comme l'angle E.
Les deux triangles sont superposables : ils ont aussi la même aire.
b) Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Donc (E'F') est parallèle à (EF) ; si O appartenait à (EF), les deux droites seraient confondues.
c) Non : la symétrie axiale conserve aussi longueurs et angles, mais le symétrique d'une droite n'est en général pas parallèle à la droite de départ (il l'est seulement si la droite est parallèle ou perpendiculaire à l'axe).

Un point O est centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de la figure par rapport à O est la figure elle-même.
Rectangle : oui, le point d'intersection de ses diagonales. Losange : oui, le point d'intersection de ses diagonales aussi (ce sont deux parallélogrammes particuliers). Cercle : oui, son centre. Segment : oui, son milieu. Lettre N : oui, le milieu de la barre oblique ; un demi-tour la superpose à elle-même.
Triangle isocèle : non ; un triangle n'a jamais de centre de symétrie, car le demi-tour d'un sommet devrait retomber sur un sommet, ce qui est impossible avec trois sommets. Il a en revanche un axe de symétrie.
Trapèze quelconque : non, ses côtés parallèles n'ont pas la même longueur, or la symétrie conserve les longueurs.

a) On prend les opposées des coordonnées : A'(−1 ; −1), B'(−4 ; −1), C'(−4 ; −3), D'(−1 ; −3).
b) ABCD est un rectangle : [AB] est horizontal (même ordonnée 1) de longueur 4 − 1 = 3 unités, [BC] est vertical (même abscisse 4) de longueur 3 − 1 = 2 unités. La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, donc A'B'C'D' est aussi un rectangle de 3 unités sur 2.
Contrôle sur les coordonnées : A'B' = −1 − (−4) = 3 et B'C' = −1 − (−3) = 2.
c) Aire d'un rectangle : longueur × largeur = 3 × 2 = 6 unités d'aire, la même que celle de ABCD. La symétrie centrale conserve les aires.

a) Le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre. Le symétrique de I(2 ; −1) par rapport à O est I'(−2 ; 1).
Donc (C') est le cercle de centre I'(−2 ; 1) et de rayon 3 cm : la symétrie conserve les longueurs, le rayon ne change pas.
Pour tracer (C'), il suffit de placer I' puis de tracer le cercle au compas avec le même écartement de 3 cm.
b) Non : le centre I est un centre de symétrie du cercle. Chaque point du cercle a son symétrique par rapport à I sur le cercle (à l'autre extrémité du diamètre), donc le symétrique de (C) par rapport à I est (C) lui-même.

a) Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. Deux points de (d') s'obtiennent en prenant les symétriques de A et B : A'(−1 ; −2) et B'(−3 ; −5). Donc (d') = (A'B') est parallèle à (d).
Contrôle : pour aller de A à B on avance de 2 et l'on monte de 3 ; pour aller de A' à B', on avance aussi de 2 (de −3 à −1) et l'on monte de 3 (de −5 à −2). Même « pente », les droites sont bien parallèles.
b) Non : de A(1 ; 2), en reculant de 1 et en descendant de 1,5 (moitié du déplacement A vers B), on arrive en (0 ; 0,5) et non en O. Les droites (d) et (d') sont donc strictement parallèles, distinctes.
c) La droite (e) passe par le centre O : son symétrique est (e) elle-même. Le symétrique de E(2 ; 3) est E'(−2 ; −3), qui est bien sur (e), de l'autre côté de O.