Symétrie centrale — cours de 5e
Définition, Construction du symétrique d'un point, Propriétés de conservation, Centre de symétrie d'une figure Lecture ≈ 4 min.
1. Définition
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu'elles se superposent par un demi-tour autour du point O. Le point O est le centre de symétrie.
Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O soit le milieu du segment [MM'].
Le symétrique du centre O est O lui-même.
Si O est le milieu de [AB], alors A et B sont symétriques par rapport à O : B est le symétrique de A, et A est le symétrique de B.
2. Construction du symétrique d'un point
- Tracer la droite (OM).
- Reporter au compas la longueur OM de l'autre côté de O sur cette droite : on obtient M' tel que OM' = OM.
On compte le déplacement de M vers O (par exemple 3 carreaux à droite et 2 carreaux en haut) et on effectue le même déplacement à partir de O pour obtenir M'.
Pour construire le symétrique d'une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points caractéristiques (sommets, centre d'un cercle, extrémités d'un segment), puis on relie ces points dans le même ordre.
Pour construire le symétrique du triangle ABC par rapport à O, on construit A', B' et C' symétriques respectifs de A, B et C, puis on trace le triangle A'B'C'.
Pour construire le symétrique d'un cercle de centre I et de rayon 3 cm, on construit I' symétrique de I, puis on trace le cercle de centre I' et de rayon 3 cm.
3. Propriétés de conservation
La symétrie centrale conserve :
- les longueurs : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
- l'alignement : le symétrique d'une droite est une droite (parallèle à la droite de départ) ;
- les mesures d'angles : le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ;
- les aires : le symétrique d'une figure a la même aire ;
- le milieu : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.
- Le symétrique d'un segment [AB] est le segment [A'B'] avec A'B' = AB.
- Le symétrique d'une droite (d) est une droite (d') parallèle à (d). Si (d) passe par O, alors (d') = (d).
- Le symétrique d'un cercle de centre I et de rayon r est le cercle de centre I' (symétrique de I) et de même rayon r.
- Le symétrique d'un triangle est un triangle superposable (mêmes longueurs, mêmes angles).
Le triangle ABC a pour côtés AB = 4 cm, BC = 5 cm, AC = 6 cm et angle BAC = 55°. Son symétrique A'B'C' par rapport à O vérifie A'B' = 4 cm, B'C' = 5 cm, A'C' = 6 cm et angle B'A'C' = 55°. Les deux triangles ont la même aire et le même périmètre (15 cm).
Si A' et B' sont les symétriques de A et B par rapport à O, alors les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. De plus, si O n'appartient pas à la droite (AB), le quadrilatère ABA'B' a ses diagonales [AA'] et [BB'] qui se coupent en leur milieu O : c'est un parallélogramme (voir chapitre 10).
4. Centre de symétrie d'une figure
Un point O est un centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de la figure par rapport à O est la figure elle-même.
- Un segment a pour centre de symétrie son milieu.
- Une droite a une infinité de centres de symétrie : tous ses points.
- Un cercle a pour centre de symétrie son centre.
- Un parallélogramme (et donc un rectangle, un losange, un carré) a pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales.
- Un triangle n'a jamais de centre de symétrie (même équilatéral).
- Un hexagone régulier a un centre de symétrie ; un pentagone régulier n'en a pas.
Parmi les lettres majuscules, H, I, N, O, S, X, Z ont un centre de symétrie. Les lettres A, B, E, T n'en ont pas (mais elles ont un axe de symétrie).
5. Différence entre symétrie axiale et symétrie centrale
| Symétrie axiale (6e) | Symétrie centrale (5e) | |
|---|---|---|
| Par rapport à | une droite (axe) | un point (centre) |
| Transformation | pliage le long de l'axe | demi-tour autour du centre |
| Symétrique de M | l'axe est la médiatrice de [MM'] | le centre est le milieu de [MM'] |
| Droite et son symétrique | pas forcément parallèles | toujours parallèles |