Exercices corrigés — Solides : prismes droits et cylindres (5e)

Si la base d'un prisme droit est un polygone à n côtés, le prisme a n + 2 faces, 2n sommets et 3n arêtes. Ici n = 5.
Faces : 5 + 2 = 7, à savoir les 2 bases pentagonales et 5 faces latérales rectangulaires (une par côté de la base).
Sommets : 2 × 5 = 10, les 5 sommets de la base du dessus et les 5 de la base du dessous.
Arêtes : 3 × 5 = 15, soit 5 arêtes pour chaque base et 5 arêtes latérales qui relient les deux bases. Vérification avec la relation d'Euler : faces + sommets − arêtes = 7 + 10 − 15 = 2.

a) Un prisme droit à base rectangulaire est un pavé droit. Sa base a 4 côtés, donc il a 4 + 2 = 6 faces, toutes rectangulaires.
b) Chaque face latérale est un rectangle dont un côté est un côté de la base et l'autre la hauteur du prisme : deux rectangles de 5 cm sur 8 cm et deux rectangles de 3 cm sur 8 cm.
c) Aire latérale = périmètre de la base × hauteur. Périmètre de la base : 2 × (5 + 3) = 16 cm. Aire latérale : 16 × 8 = 128 cm². Contrôle : 2 × (5 × 8) + 2 × (3 × 8) = 80 + 48 = 128 cm².
Aire d'une base : 5 × 3 = 15 cm². Aire totale = aire latérale + 2 × aire d'une base = 128 + 2 × 15 = 158 cm².

Volume d'un prisme droit : aire de la base × hauteur du prisme. Il ne faut pas confondre la hauteur du triangle de base (4 cm) et la hauteur du prisme (12 cm).
Aire de la base triangulaire : (5 × 4) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 cm².
Volume : V = 10 × 12 = 120 cm³.
Ordre de grandeur : ce prisme est la moitié d'un pavé droit de 5 cm × 4 cm × 12 cm, de volume 240 cm³, ce qui confirme 120 cm³. Un volume s'exprime en cm³, une aire en cm².

Pour les volumes, chaque unité vaut 1 000 fois l'unité immédiatement inférieure, et 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³.
a) De dm³ à cm³, un rang vers le bas : 4 × 1 000 = 4 000 cm³.
b) 0,35 m³ = 0,35 × 1 000 = 350 dm³ = 350 L.
c) 1 200 mL = 1 200 cm³ = 1 200 ÷ 1 000 = 1,2 dm³ (c'est aussi 1,2 L). d) 8 500 cm³ = 8,5 dm³ = 8,5 L. Erreur classique : multiplier par 100 comme pour les aires, ou par 10 comme pour les longueurs, au lieu de 1 000.

Volume d'un cylindre : aire de la base × hauteur, la base étant un disque d'aire π × r × r.
Aire de la base : π × 5 × 5 = 25π cm².
Volume : V = 25π × 20 = 500π cm³ (valeur exacte). Avec la calculatrice : 500π ≈ 1 570,8, soit 1 571 cm³ à l'unité.
Conversion : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, donc V ≈ 1 571 ÷ 1 000 ≈ 1,571 L, soit environ 1,6 L.

a) Le patron comprend deux disques de rayon 2 cm et un rectangle dont une dimension est la hauteur, 10 cm, et l'autre la longueur du cercle de base : 2 × π × 2 = 4π cm ≈ 12,6 cm.
b) Aire latérale = aire du rectangle = périmètre de la base × hauteur = 4π × 10 = 40π cm² ≈ 125,7 cm².
Aire d'une base : π × 2 × 2 = 4π cm². Aire totale = 40π + 2 × 4π = 48π cm² ≈ 150,8 cm².
On additionne d'abord les valeurs exactes (40π + 8π = 48π) et l'on n'arrondit qu'à la fin, pour éviter les erreurs d'arrondi cumulées.

Dans le patron d'un cylindre, la longueur du rectangle qui n'est pas la hauteur est égale à la longueur du cercle de base : 2 × π × r = 25,12 cm.
Avec π ≈ 3,14 : 2 × 3,14 = 6,28, donc 6,28 × r = 25,12.
r = 25,12 ÷ 6,28 = 4 cm.
Vérification : 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm. Le diamètre des disques du patron est donc 8 cm. Attention : 25,12 est la longueur du cercle, pas le diamètre.

a) Aire de la base : π × 6 × 6 = 36π cm². Volume : 36π × 25 = 900π cm³ ≈ 2 827 cm³. Comme 1 L = 1 000 cm³, le vase contient environ 2,83 L.
b) 2 L = 2 000 cm³. L'eau forme un cylindre de même base (36π cm²) et de hauteur h inconnue : 36π × h = 2 000.
Avec π ≈ 3,14 : 36 × 3,14 = 113,04, donc h = 2 000 ÷ 113,04 ≈ 17,69 cm, soit 17,7 cm au millimètre.
Contrôle : 2 L sur une capacité de 2,83 L représente environ 71 % du vase, et 17,7 ÷ 25 ≈ 0,71 ; l'eau ne déborde pas.