Solides : prismes droits et cylindres — cours de 5e
Le prisme droit, Le cylindre de révolution, Patrons, Aire latérale et aire totale Lecture ≈ 5 min.
1. Le prisme droit
Un prisme droit est un solide qui a :
- deux faces parallèles et superposables, appelées bases, qui sont des polygones ;
- des faces latérales qui sont des rectangles, perpendiculaires aux bases.
La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases (c'est la longueur d'une arête latérale).
Un prisme droit dont les bases sont des triangles est un prisme droit à base triangulaire ; le pavé droit est un prisme droit à base rectangulaire.
Si la base d'un prisme droit est un polygone à n côtés, alors le prisme a : n + 2 faces, 2n sommets et 3n arêtes.
Un prisme droit à base triangulaire (n = 3) a 5 faces (2 triangles + 3 rectangles), 6 sommets et 9 arêtes.
Un prisme droit à base hexagonale (n = 6) a 8 faces, 12 sommets et 18 arêtes.
2. Le cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide qui a :
- deux bases qui sont des disques parallèles et superposables ;
- une surface latérale courbe qui, une fois « déroulée », est un rectangle.
La hauteur du cylindre est la distance entre les deux bases. Le rayon du cylindre est le rayon de ses bases. On l'appelle « de révolution » car on l'obtient en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.
3. Patrons
Un patron d'un solide est une figure plane qui, une fois pliée, permet de reconstituer le solide sans superposition de faces.
Le patron d'un prisme droit est formé des deux bases (polygones superposables) et des faces latérales rectangulaires. Chaque rectangle a pour dimensions : un côté de la base et la hauteur du prisme. Placés côte à côte, les rectangles forment une bande de longueur égale au périmètre de la base et de largeur égale à la hauteur.
Le patron d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est formé de :
- deux disques de rayon r ;
- un rectangle dont une dimension est la hauteur h et l'autre est la longueur du cercle de base, soit 2 × π × r.
Un cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 7 cm. Son patron comprend deux disques de rayon 3 cm et un rectangle de 7 cm sur 2 × π × 3 = 6π ≈ 18,8 cm.
Un prisme droit a pour base un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm et une hauteur de 6 cm. Son patron comprend deux triangles superposables (3-4-5) et trois rectangles : 3 × 6, 4 × 6 et 5 × 6. La bande latérale mesure (3 + 4 + 5) = 12 cm de long sur 6 cm de large.
4. Aire latérale et aire totale
- Aire latérale d'un prisme droit ou d'un cylindre : périmètre de la base × hauteur.
- Aire totale : aire latérale + 2 × aire d'une base.
Cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 7 cm.
Aire latérale : 2 × π × 3 × 7 = 42π ≈ 131,9 cm2.
Aire d'une base : π × 32 = 9π cm2.
Aire totale : 42π + 2 × 9π = 60π ≈ 188,5 cm2.
5. Volume
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. L'unité de référence est le mètre cube (m3), volume d'un cube de 1 m d'arête.
Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre est égal au produit de l'aire d'une base par la hauteur :
V = aire de la base × hauteur
- Pavé droit de dimensions L, l, h : V = L × l × h.
- Prisme à base triangulaire (base b, hauteur du triangle ht), hauteur H : V = (b × ht ÷ 2) × H.
- Cylindre de rayon r et de hauteur h : V = π × r2 × h.
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 4 cm et 6 cm ; sa hauteur est 10 cm.
Aire de la base : (4 × 6) ÷ 2 = 12 cm2. Volume : 12 × 10 = 120 cm3.
Une boîte de conserve cylindrique a un diamètre de 8 cm et une hauteur de 11 cm.
Rayon : 4 cm. Aire de la base : π × 42 = 16π cm2.
Volume : 16π × 11 = 176π ≈ 552,9 cm3, soit environ 0,55 L.
6. Conversions de volumes et de capacités
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Chaque unité vaut 1 000 fois l'unité immédiatement inférieure. | ||||||
1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 ; 1 dm3 = 1 000 cm3 ; 1 cm3 = 1 000 mm3.
Lien avec les capacités : 1 L = 1 dm3, 1 mL = 1 cm3, 1 m3 = 1 000 L.
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL |
|---|---|---|---|---|---|---|
| = 1 m3 | = 1 dm3 | = 1 cm3 |
Convertir 2,5 m3 en L : 2,5 m3 = 2 500 dm3 = 2 500 L.
Convertir 750 cm3 en L : 750 cm3 = 0,75 dm3 = 0,75 L = 75 cL.
Convertir 3 400 mm3 en cm3 : 3,4 cm3.
Un aquarium a la forme d'un pavé droit de 60 cm sur 30 cm et de hauteur 40 cm. Combien de litres d'eau contient-il lorsqu'il est rempli aux 34 ?
Volume total : 60 × 30 × 40 = 72 000 cm3 = 72 dm3 = 72 L. Aux 34 : 72 × 34 = 54 L.