Exercices corrigés — Probabilités (5e)

Le dé est équilibré : les 6 issues 1, 2, 3, 4, 5, 6 ont la même probabilité, 16. La probabilité d'un événement est le nombre d'issues qui le réalisent divisé par 6.
a) Une seule issue, le 3 : p = 16.
b) Les multiples de 3 sont 3 et 6 : deux issues, p = 26 = 13.
c) Les nombres inférieurs à 5 sont 1, 2, 3 et 4 : quatre issues, p = 46 = 23. d) Aucune face ne porte 0 : l'événement est impossible, p = 0.

La roue est équilibrée : la probabilité d'un secteur est proportionnelle à son angle. Le tour complet, 360°, correspond à la probabilité 1, donc p(couleur) = angle ÷ 360.
Rouge : 120360 = 13. Bleu : 90360 = 14. Vert : 60360 = 16. Jaune : 90360 = 14.
Somme : on réduit au dénominateur 12, 412 + 312 + 212 + 312 = 1212 = 1. Les quatre couleurs couvrent toutes les issues possibles.
Bleu et jaune ont la même probabilité car leurs secteurs ont le même angle ; le rouge, deux fois plus grand que le vert, est deux fois plus probable.

Nombre total de jetons : 4 + 6 + 10 = 20. Le tirage au hasard de jetons indiscernables assure l'équiprobabilité : chaque jeton a la probabilité 120.
p(jaune) = 420 = 15 = 0,2. p(blanc) = 1020 = 12 = 0,5.
« Ni jaune ni blanc » signifie « noir » : p(noir) = 620 = 310 = 0,3.
Vérification : 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1. On pouvait aussi calculer p(noir) = 1 − (0,2 + 0,5) = 0,3, car les trois couleurs recouvrent toutes les issues.

« Il ne pleut pas » est l'événement contraire de « il pleut » : l'un des deux se réalise forcément, et jamais les deux à la fois.
La somme des probabilités d'un événement et de son contraire vaut 1 : p(non pluie) = 1 − p(pluie) = 1 − 0,35 = 0,65.
Il y a donc 65 % de chances qu'il ne pleuve pas.
Cette probabilité n'est pas calculée par équiprobabilité mais estimée à partir d'observations météorologiques ; la règle du contraire s'applique dans tous les cas.

a) Il y a 4 dames (une par couleur) parmi 32 cartes équiprobables : p(dame) = 432 = 18. Ne pas obtenir une dame est l'événement contraire : p = 1 − 18 = 78. Vérification par comptage : 28 cartes ne sont pas des dames, et 2832 = 78.
b) « Au moins 5 » est réalisé par 5 et 6 : p(A) = 26 = 13.
L'événement contraire est « obtenir au plus 4 », c'est-à-dire 1, 2, 3 ou 4. Sa probabilité est 1 − 13 = 23, ce que l'on retrouve avec 46 = 23.
Attention : le contraire de « au moins 5 » n'est pas « au plus 5 » (qui contiendrait le 5), mais « strictement moins que 5 ».

Un jeu de 52 cartes comporte 4 couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) de 13 cartes chacune : as, 2, 3, …, 10, valet, dame, roi. Le tirage au hasard assure l'équiprobabilité : chaque carte a la probabilité 152.
a) 13 cœurs : p = 1352 = 14.
b) 4 as (un par couleur) : p = 452 = 113.
c) 3 figures par couleur, soit 3 × 4 = 12 figures : p = 1252 = 313. On simplifie les fractions par 13 ou par 4 pour rendre les résultats plus lisibles.

a) La fréquence est le nombre de six divisé par le nombre de lancers : 38200 = 0,19, soit 19 %.
b) Pour un dé équilibré, p(six) = 16 ≈ 0,167, soit environ 16,7 %.
c) Non. Sur 200 lancers, on attend environ 200 ÷ 6 ≈ 33 six ; en obtenir 38 est un écart tout à fait possible dû au hasard. La fréquence se rapproche de la probabilité seulement quand le nombre de lancers devient très grand ; 200 lancers ne suffisent pas pour accuser le dé.
d) Sur 6 000 lancers, la fréquence sera proche de 16 : on attend environ 6 000 × 16 = 1 000 six, sans que ce soit exactement 1 000.

Rouge et noire sont des événements contraires : p(noire) = 1 − 25 = 35.
Les 12 boules noires représentent donc les 35 du nombre total de boules. Un cinquième du total est 12 ÷ 3 = 4 boules, et le total est 5 × 4 = 20 boules.
Nombre de boules rouges : 20 − 12 = 8. On peut aussi calculer les 25 de 20 : 20 ÷ 5 × 2 = 8.
Vérification : p(rouge) = 820 = 25 et p(noire) = 1220 = 35, la somme vaut bien 1.