Probabilités — cours de 5e
Expérience aléatoire, Événement, Probabilité d'un événement, Équiprobabilité Lecture ≈ 4 min.
1. Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Chaque résultat possible est appelé une issue.
- Lancer une pièce de monnaie : deux issues, « pile » et « face ».
- Lancer un dé à six faces : six issues, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
- Tirer une boule dans un sac contenant des boules rouges, vertes et bleues : trois issues, rouge, vert, bleu.
2. Événement
Un événement est un ensemble d'issues d'une expérience aléatoire. Un événement est réalisé lorsque l'issue obtenue fait partie de cet ensemble.
- Un événement formé d'une seule issue est un événement élémentaire.
- Un événement certain est un événement qui se réalise toujours (il contient toutes les issues).
- Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais (il ne contient aucune issue).
On lance un dé à six faces.
- L'événement A : « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6.
- L'événement B : « obtenir 5 » est un événement élémentaire.
- L'événement C : « obtenir un nombre inférieur à 7 » est certain.
- L'événement D : « obtenir 9 » est impossible.
3. Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que cet événement se réalise. On la note p(A) pour l'événement A.
- La probabilité d'un événement impossible est 0.
- La probabilité d'un événement certain est 1.
- Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement a de chances de se produire.
Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.
4. Équiprobabilité
Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité. C'est le cas d'un dé non truqué, d'une pièce équilibrée, ou du tirage au hasard d'une boule dans une urne où les boules sont indiscernables au toucher (chaque boule a alors la même probabilité d'être tirée, ce qui ne signifie pas que chaque couleur a la même probabilité).
Dans une situation d'équiprobabilité :
p(A) = (nombre d'issues réalisant A) ÷ (nombre total d'issues)
On lance un dé équilibré à six faces. Chaque issue a pour probabilité 16.
- p(« obtenir 5 ») = 16.
- p(« obtenir un nombre pair ») = 36 = 12 (issues 2, 4, 6).
- p(« obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ») = 26 = 13 (issues 5 et 6).
- p(« obtenir 9 ») = 06 = 0.
Un sac contient 3 boules rouges, 5 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
Nombre total de boules : 10.
p(rouge) = 310 = 0,3 ; p(verte) = 510 = 0,5 ; p(bleue) = 210 = 0,2.
Vérification : 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1.
p(« ne pas tirer une boule verte ») = 510 = 0,5 (rouge ou bleue).
Une roue est partagée en 4 secteurs : un secteur rouge de 180°, un secteur bleu de 90° et deux secteurs verts de 45° chacun.
p(rouge) = 180360 = 12 ; p(bleu) = 90360 = 14 ; p(vert) = 90360 = 14.
5. Événements contraires
L'événement contraire d'un événement A, noté « non A », est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
p(non A) = 1 − p(A).
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit A : « tirer un roi ». Il y a 4 rois, donc p(A) = 432 = 18.
L'événement contraire est « ne pas tirer un roi » : p(non A) = 1 − 18 = 78.
6. Lien avec les fréquences
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Si on lance une pièce équilibrée 1 000 fois, on obtiendra « pile » environ 500 fois, c'est-à-dire avec une fréquence proche de 0,5 = p(pile). Mais sur 10 lancers, on peut très bien obtenir 7 « pile » : le hasard ne se « corrige » pas à court terme.