Exercices corrigés — Nombres relatifs (5e)

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : sur une droite graduée, ils sont symétriques par rapport à l'origine.
L'opposé de 8 est −8 ; l'opposé de −3,4 est 3,4 (on peut écrire +3,4) ; l'opposé de −100 est 100 ; l'opposé de 0,01 est −0,01.
L'opposé de 0 est 0 lui-même : c'est le seul nombre égal à son opposé, car il est à distance zéro de l'origine.
Vérification : la somme d'un nombre et de son opposé est nulle, par exemple −3,4 + 3,4 = 0.

a) Pour aller de −4 à 0, il faut monter de 4 degrés ; puis de 0 à 7, encore 7 degrés : en tout 4 + 7 = 11 degrés. Par le calcul : 7 − (−4) = 7 + 4 = 11. La température a augmenté de 11 °C.
b) De 7 à −2 : on descend de 7 jusqu'à 0, puis de 2 encore, soit 9 degrés. Par le calcul : −2 − 7 = −9. La variation est de −9 °C, c'est-à-dire une baisse de 9 °C.
c) La distance entre deux points est la plus grande abscisse moins la plus petite : AB = −1,5 − (−6) = −1,5 + 6 = 4,5.
Sur la droite graduée, de −6 à −1,5, on avance bien de 4,5 unités vers la droite. Une distance est toujours positive.

On sépare les positifs, le zéro et les négatifs. Positifs : 1 et 0,8, avec 1 > 0,8. Puis 0, plus petit que tout positif et plus grand que tout négatif.
Négatifs : −2,5, −12 et −2,05. Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro (le plus petit en valeur absolue). Distances à zéro : 2,5 ; 12 ; 2,05. Le plus proche est −2,05, puis −2,5, puis −12.
Ordre décroissant : 1 > 0,8 > 0 > −2,05 > −2,5 > −12.
Piège : 2,5 > 2,05, mais −2,5 < −2,05 ; pour les négatifs, l'ordre est inversé par rapport aux distances à zéro. Sur la droite graduée, les nombres sont rangés de gauche à droite dans l'ordre croissant.

a) Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, 8 − 3 = 5, et l'on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro, −8. Donc (−8) + (+3) = −5.
b) Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : (−8) − (+3) = (−8) + (−3). Même signe : on additionne les distances, 8 + 3 = 11, et l'on garde le signe −. Résultat : −11.
c) (+8) − (−3) = (+8) + (+3) = 11 : retirer un nombre négatif revient à ajouter un positif.
d) Même signe : 2,5 + 4,5 = 7, signe −. Donc (−2,5) + (−4,5) = −7. Vérification de a) avec les températures : partir de −8 °C et gagner 3 °C donne −5 °C.

Règles de simplification : « + (+ » et « − (− » deviennent « + » ; « + (− » et « − (+ » deviennent « − ».
K = 6 − 9 + 4 − 2. On regroupe les positifs et les négatifs : (6 + 4) − (9 + 2) = 10 − 11 = −1. Donc K = −1.
L = −3,5 + 1,5 + 2 − 5. Positifs : 1,5 + 2 = 3,5. Négatifs : 3,5 + 5 = 8,5. L = 3,5 − 8,5 = −5.
On peut aussi calculer de gauche à droite : −3,5 + 1,5 = −2 ; −2 + 2 = 0 ; 0 − 5 = −5. Les deux méthodes donnent −5.

L'expression est déjà écrite sans parenthèses : c'est une suite d'additions de nombres relatifs (−7, +12, −5, −8, +3).
On regroupe les termes positifs : 12 + 3 = 15. On regroupe les termes négatifs : −7 − 5 − 8 = −20 (distances 7 + 5 + 8 = 20, signe −).
H = 15 − 20. Signes contraires : 20 − 15 = 5, et le signe est celui du plus éloigné de zéro, −20. Donc H = −5.
Vérification de gauche à droite : −7 + 12 = 5 ; 5 − 5 = 0 ; 0 − 8 = −8 ; −8 + 3 = −5. Regrouper par signes est plus rapide et limite les erreurs quand il y a beaucoup de termes.

M(−2 ; 3) est à 2 unités à gauche de l'axe des ordonnées et 3 unités au-dessus de l'axe des abscisses.
Symétrique par rapport à l'axe des abscisses : on passe de l'autre côté de cet axe, l'abscisse ne change pas, l'ordonnée devient son opposée : (−2 ; −3).
Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : l'abscisse devient son opposée, l'ordonnée ne change pas : (2 ; 3). Symétrique par rapport à O : les deux coordonnées deviennent leurs opposées : (2 ; −3).
N(0 ; −4) a une abscisse nulle : il est sur l'axe des ordonnées, 4 unités en dessous de l'origine. Tout point de l'axe des ordonnées a pour abscisse 0 ; tout point de l'axe des abscisses a pour ordonnée 0.

P et Q ont la même ordonnée, 1 : le segment [PQ] est horizontal. Q et R ont la même abscisse, 2 : le segment [QR] est vertical. Les côtés [PQ] et [QR] sont donc perpendiculaires, comme dans un rectangle.
Pour fermer le rectangle PQRS, le point S doit être sur la verticale de P (même abscisse que P, −4) et sur l'horizontale de R (même ordonnée que R, −3) : S(−4 ; −3).
Dimensions : PQ est la distance entre les abscisses −4 et 2, soit 2 − (−4) = 6 unités ; QR est la distance entre les ordonnées 1 et −3, soit 1 − (−3) = 4 unités.
Le rectangle mesure 6 unités sur 4. Vérification : PS = 1 − (−3) = 4 = QR et SR = 2 − (−4) = 6 = PQ, les côtés opposés ont bien la même longueur.