Nombres relatifs — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 9 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Définition et vocabulaire
Définition
Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe : + (positif) ou − (négatif).
- Les nombres positifs s'écrivent avec le signe + ou sans signe : +3 ; 7,5 ; +12.
- Les nombres négatifs s'écrivent avec le signe − : −3 ; −7,5 ; −0,2.
- Le nombre 0 est à la fois positif et négatif.
La distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre sans son signe. Par exemple, la distance à zéro de −4,5 est 4,5.
2. Droite graduée et opposés
Définition
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. L'origine O a pour abscisse 0 ; les nombres positifs sont à droite de O, les négatifs à gauche.
Définition
Deux nombres sont opposés s'ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. L'opposé de 7 est −7 ; l'opposé de −2,5 est 2,5 ; l'opposé de 0 est 0.
Propriété
Sur une droite graduée, deux points d'abscisses opposées sont symétriques par rapport à l'origine O.
La somme de deux nombres opposés est nulle : a + (−a) = 0.
3. Comparaison de nombres relatifs
Propriété
- Tout nombre négatif non nul est inférieur à tout nombre positif non nul : −100 < 0,1 (et 0 est inférieur ou égal à tout nombre positif, supérieur ou égal à tout nombre négatif).
- Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : 3,2 < 5.
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : −5 < −3,2.
Sur une droite graduée, un nombre est plus petit qu'un autre s'il est placé à sa gauche.
4. Repérage dans le plan
Définition
Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires de même origine O :
- l'axe des abscisses (horizontal) ;
- l'axe des ordonnées (vertical).
Chaque point M est repéré par un couple de nombres relatifs (x ; y) appelé coordonnées de M : x est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal) et y est l'ordonnée (lue sur l'axe vertical). On note M(x ; y).
5. Addition de nombres relatifs
Propriété
- Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.
- Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
6. Soustraction de nombres relatifs
Propriété
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé :
a − b = a + (opposé de b)
8. Distance entre deux points sur une droite graduée
Propriété
Sur une droite graduée, la distance entre deux points A et B est la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite : AB = xB − xA si xB ≥ xA.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Pour lire les coordonnées d'un point, on trace la verticale passant par ce point : elle coupe l'axe des abscisses en l'abscisse. Puis l'horizontale : elle coupe l'axe des ordonnées en l'ordonnée.
- Pour placer A(−2 ; 3), on part de O, on se déplace de 2 unités vers la gauche (abscisse négative) puis de 3 unités vers le haut (ordonnée positive).
- L'abscisse se lit toujours en premier : « on marche avant de monter ».
Méthode 2
On supprime les parenthèses et les signes d'addition :
- « + (+ » et « − (− » deviennent « + » ;
- « + (− » et « − (+ » deviennent « − ».
Ainsi (−3) + (−5) − (−2) + (+7) s'écrit −3 − 5 + 2 + 7.
Méthode 3
On peut regrouper les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux, puis effectuer la dernière addition.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés