Nombres relatifs — cours de 5e
Définition et vocabulaire, Droite graduée et opposés, Comparaison de nombres relatifs, Repérage dans le plan Lecture ≈ 5 min.
1. Définition et vocabulaire
Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe : + (positif) ou − (négatif).
- Les nombres positifs s'écrivent avec le signe + ou sans signe : +3 ; 7,5 ; +12.
- Les nombres négatifs s'écrivent avec le signe − : −3 ; −7,5 ; −0,2.
- Le nombre 0 est à la fois positif et négatif.
La distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre sans son signe. Par exemple, la distance à zéro de −4,5 est 4,5.
Une température de 5 degrés en dessous de zéro : −5 °C.
Une altitude de 120 m sous le niveau de la mer : −120 m.
Un compte bancaire débiteur de 30 € : −30 €.
L'année 52 avant J.-C. : −52.
2. Droite graduée et opposés
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. L'origine O a pour abscisse 0 ; les nombres positifs sont à droite de O, les négatifs à gauche.
Deux nombres sont opposés s'ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. L'opposé de 7 est −7 ; l'opposé de −2,5 est 2,5 ; l'opposé de 0 est 0.
Sur une droite graduée, deux points d'abscisses opposées sont symétriques par rapport à l'origine O.
La somme de deux nombres opposés est nulle : a + (−a) = 0.
Sur une droite graduée d'unité 1 cm, le point A d'abscisse −3 est placé 3 cm à gauche de O ; le point B d'abscisse 3 est placé 3 cm à droite de O. Les points A et B sont symétriques par rapport à O.
3. Comparaison de nombres relatifs
- Tout nombre négatif non nul est inférieur à tout nombre positif non nul : −100 < 0,1 (et 0 est inférieur ou égal à tout nombre positif, supérieur ou égal à tout nombre négatif).
- Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : 3,2 < 5.
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : −5 < −3,2.
Sur une droite graduée, un nombre est plus petit qu'un autre s'il est placé à sa gauche.
Ranger dans l'ordre croissant : 2 ; −7 ; 0 ; −1,5 ; 4,8 ; −0,3.
Les négatifs d'abord, du plus éloigné de zéro au plus proche : −7 < −1,5 < −0,3.
Puis 0, puis les positifs : 0 < 2 < 4,8.
Réponse : −7 < −1,5 < −0,3 < 0 < 2 < 4,8.
4. Repérage dans le plan
Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires de même origine O :
- l'axe des abscisses (horizontal) ;
- l'axe des ordonnées (vertical).
Chaque point M est repéré par un couple de nombres relatifs (x ; y) appelé coordonnées de M : x est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal) et y est l'ordonnée (lue sur l'axe vertical). On note M(x ; y).
- Pour lire les coordonnées d'un point, on trace la verticale passant par ce point : elle coupe l'axe des abscisses en l'abscisse. Puis l'horizontale : elle coupe l'axe des ordonnées en l'ordonnée.
- Pour placer A(−2 ; 3), on part de O, on se déplace de 2 unités vers la gauche (abscisse négative) puis de 3 unités vers le haut (ordonnée positive).
- L'abscisse se lit toujours en premier : « on marche avant de monter ».
Dans un repère, on place A(3 ; 2), B(−3 ; 2), C(−3 ; −2) et D(3 ; −2).
A et B ont la même ordonnée 2 : ils sont sur une même horizontale. A et D ont la même abscisse 3 : ils sont sur une même verticale. Le quadrilatère ABCD est un rectangle de centre O. Les points A et C, d'abscisses et d'ordonnées opposées, sont symétriques par rapport à O.
5. Addition de nombres relatifs
- Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.
- Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
(+5) + (+3) = +8 (même signe : 5 + 3 = 8, signe +)
(−5) + (−3) = −8 (même signe : 5 + 3 = 8, signe −)
(−5) + (+3) = −2 (signes contraires : 5 − 3 = 2, signe de −5)
(+5) + (−3) = +2 (signes contraires : 5 − 3 = 2, signe de +5)
(−7,2) + (+7,2) = 0 (opposés)
6. Soustraction de nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé :
a − b = a + (opposé de b)
(+4) − (+9) = (+4) + (−9) = −5
(−4) − (−9) = (−4) + (+9) = +5
(−4) − (+9) = (−4) + (−9) = −13
(+4) − (−9) = (+4) + (+9) = +13
7. Écriture simplifiée et suites d'additions
On supprime les parenthèses et les signes d'addition :
- « + (+ » et « − (− » deviennent « + » ;
- « + (− » et « − (+ » deviennent « − ».
Ainsi (−3) + (−5) − (−2) + (+7) s'écrit −3 − 5 + 2 + 7.
On peut regrouper les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux, puis effectuer la dernière addition.
F = −3 − 5 + 2 + 7
F = (2 + 7) + (−3 − 5)
F = 9 − 8
F = 1
G = 12 − 15 + 4 − 9
G = 16 − 24
G = −8
8. Distance entre deux points sur une droite graduée
Sur une droite graduée, la distance entre deux points A et B est la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite : AB = xB − xA si xB ≥ xA.
Si A a pour abscisse −3 et B pour abscisse 5, alors AB = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.