Exercices corrigés — Enchaînement d'opérations et priorités (5e)

A : sans parenthèses, la multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction. A = 5 + 4 × 3 − 2 = 5 + 12 − 2. Puis, de gauche à droite : 5 + 12 = 17 et 17 − 2 = 15. Donc A = 15.
B : les parenthèses d'abord. 5 + 4 = 9 et 3 − 2 = 1, donc B = 9 × 1 = 9.
C : la parenthèse d'abord, 3 − 2 = 1 ; puis la multiplication, 4 × 1 = 4 ; enfin l'addition, 5 + 4 = 9. Donc C = 9.
Les mêmes nombres dans le même ordre donnent 15, 9 ou 9 selon les parenthèses : c'est l'ordre des calculs qui fixe le résultat. Écrire une seule opération par ligne, en recopiant le reste, évite les erreurs.

a) « La somme de 7 et du produit de 3 par 4 » : le dernier mot d'opération est « somme », c'est l'opération finale. Expression : 7 + 3 × 4 = 7 + 12 = 19.
b) « Le produit de la somme de 7 et 3 par 4 » : l'opération finale est le produit ; la somme se calcule d'abord, donc entre parenthèses. Expression : (7 + 3) × 4 = 10 × 4 = 40.
c) « Le quotient de la différence de 20 et 8 par 4 » : (20 − 8) ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3.
d) « La différence de 20 et du quotient de 8 par 4 » : 20 − 8 ÷ 4 = 20 − 2 = 18. Ici pas de parenthèses : la division est prioritaire et se fait d'abord naturellement. Le vocabulaire (somme, différence, produit, quotient) dit quelle opération est faite en dernier.

D : la parenthèse d'abord, 2 + 4 = 6, donc D = 48 ÷ 6 × 3. Il ne reste que des multiplications et divisions : on calcule de gauche à droite, 48 ÷ 6 = 8, puis 8 × 3 = 24. Donc D = 24.
E : les parenthèses intérieures d'abord, 2 + 4 = 6, donc E = 48 ÷ (6 × 3) = 48 ÷ 18.
48 ÷ 18 ne tombe pas juste : 48 ÷ 18 = 4818 = 83 (on simplifie par 6), soit environ 2,67.
D et E ne diffèrent que par une paire de parenthèses et valent 24 et 83 : dans D, on divise par 6 puis multiplie par 3 ; dans E, on divise par 18. Sans parenthèses, une suite de multiplications et divisions se lit toujours de gauche à droite.

Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas), puis on divise.
F : numérateur 15 + 9 = 24 ; dénominateur 2 × 3 = 6 ; F = 246 = 4.
G : ici seul le 9 est divisé par 3, car la barre ne porte que sur 9. La division est prioritaire : 93 = 3, donc G = 15 + 3 = 18. F et G sont différents.
H : numérateur 30 − 2 × 6 = 30 − 12 = 18 (la multiplication d'abord) ; dénominateur 4 + 5 = 9 ; H = 189 = 2. Sur une calculatrice, il faut taper les parenthèses (30 − 2 × 6) ÷ (4 + 5), sinon le résultat est faux.

Recette des adultes : 35 places à 9 € font 35 × 9 €. Recette des enfants : 12 × 6 €. La recette totale est la somme des deux.
En une seule expression : recette = 35 × 9 + 12 × 6. Aucune parenthèse n'est nécessaire, car les multiplications sont prioritaires sur l'addition.
Calcul : 35 × 9 = 315 et 12 × 6 = 72, donc recette = 315 + 72 = 387 €.
Ordre de grandeur : 35 × 10 = 350 et 12 × 5 = 60, environ 410 € ; le résultat 387 € est cohérent. Écrire (35 × 9 + 12) × 6 serait faux : cela ferait payer 6 € à tout le monde.

8 × 102 : on décompose 102 = 100 + 2, puis k × (a + b) = k × a + k × b : 8 × 102 = 8 × 100 + 8 × 2 = 800 + 16 = 816.
15 × 99 : on écrit 99 = 100 − 1, puis 15 × 99 = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 − 15 = 1 485.
13 × 7 + 13 × 3 : on lit la distributivité à l'envers (factorisation), le facteur commun est 13 : 13 × 7 + 13 × 3 = 13 × (7 + 3) = 13 × 10 = 130.
La distributivité permet de développer (les deux premiers calculs) ou de factoriser (le troisième) ; dans les deux cas elle remplace un calcul difficile par des calculs simples.

Dans chaque expression, un même facteur apparaît dans les deux produits : c'est le facteur commun, que l'on met en évidence grâce à k × a + k × b = k × (a + b).
25 × 12 + 25 × 8 = 25 × (12 + 8) = 25 × 20 = 500.
7 × 3,5 − 7 × 1,5 = 7 × (3,5 − 1,5) = 7 × 2 = 14. Avec une soustraction, on utilise k × (a − b) = k × a − k × b.
4,5 × 6 + 4,5 × 4 = 4,5 × (6 + 4) = 4,5 × 10 = 45. Vérification pour le premier : 25 × 12 = 300 et 25 × 8 = 200, et 300 + 200 = 500. Factoriser fait apparaître des nombres ronds (20, 2, 10) : le calcul devient mental.

Sans parenthèses, 3 + 5 × 2 − 1 = 3 + 10 − 1 = 12. Les parenthèses changent l'ordre des calculs, donc le résultat.
Pour obtenir 15 : (3 + 5) × 2 − 1 = 8 × 2 − 1 = 16 − 1 = 15. On force l'addition avant la multiplication.
Pour obtenir 8 : (3 + 5) × (2 − 1) = 8 × 1 = 8. Une autre solution existe : 3 + 5 × (2 − 1) = 3 + 5 × 1 = 3 + 5 = 8.
Méthode : on cherche quelle opération doit être faite en dernier pour atteindre le résultat, et l'on protège les autres par des parenthèses. Il peut y avoir plusieurs placements corrects, ou aucun (par exemple, aucun placement ne donne 100).