Enchaînement d'opérations et priorités — cours de 5e
Vocabulaire des opérations, Priorités opératoires, Cas de la barre de fraction, Distributivité simple Lecture ≈ 4 min.
1. Vocabulaire des opérations
- Le résultat d'une addition est une somme ; les nombres additionnés sont les termes.
- Le résultat d'une soustraction est une différence ; les nombres soustraits sont les termes.
- Le résultat d'une multiplication est un produit ; les nombres multipliés sont les facteurs.
- Le résultat d'une division est un quotient ; on divise le dividende par le diviseur.
Dans 7 + 5 = 12, le nombre 12 est la somme des termes 7 et 5.
Dans 7 × 5 = 35, le nombre 35 est le produit des facteurs 7 et 5.
Dans 35 ÷ 5 = 7, le nombre 7 est le quotient de 35 par 5.
2. Priorités opératoires
Dans une suite de calculs :
- on effectue d'abord les calculs entre parenthèses (en commençant par les parenthèses les plus intérieures) ;
- puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des additions et des soustractions, on calcule de gauche à droite. Il en est de même pour une expression qui ne contient que des multiplications et des divisions.
- Repérer les calculs prioritaires (parenthèses, puis multiplications/divisions).
- Effectuer une seule opération par ligne, en recopiant tout le reste de l'expression.
- Souligner le calcul effectué pour ne pas se tromper.
A = 7 + 3 × 5
A = 7 + 15 (la multiplication est prioritaire)
A = 22
B = 20 − 8 ÷ 2 + 3
B = 20 − 4 + 3
B = 16 + 3 (de gauche à droite)
B = 19
C = (7 + 3) × 5
C = 10 × 5
C = 50
D = 36 ÷ (2 × (5 − 2))
D = 36 ÷ (2 × 3) (parenthèses intérieures d'abord)
D = 36 ÷ 6
D = 6
On remarque que 7 + 3 × 5 = 22 alors que (7 + 3) × 5 = 50 : les parenthèses changent le résultat !
3. Cas de la barre de fraction
Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur avant d'effectuer la division.
E = 12 + 64 − 1 = 183 = 6
4. Distributivité simple
Pour tous nombres k, a et b :
k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b
Lue de gauche à droite, cette égalité permet de développer ; lue de droite à gauche, elle permet de factoriser.
Développer : 4 × (10 + 3) = 4 × 10 + 4 × 3 = 40 + 12 = 52.
Factoriser : 7 × 12 + 7 × 8 = 7 × (12 + 8) = 7 × 20 = 140.
5. Calcul mental
- Décomposer un facteur : 23 × 101 = 23 × 100 + 23 × 1 = 2300 + 23 = 2323.
- Multiplier par 5 : multiplier par 10 puis diviser par 2. Ex. : 46 × 5 = 460 ÷ 2 = 230.
- Multiplier par 9 : multiplier par 10 puis retrancher le nombre. Ex. : 37 × 9 = 370 − 37 = 333.
- Multiplier par 0,5 revient à diviser par 2 ; multiplier par 0,25 revient à diviser par 4.
- Regrouper astucieusement : 4 × 17 × 25 = (4 × 25) × 17 = 100 × 17 = 1700.
- Ordre de grandeur : pour 397 × 21, on estime 400 × 20 = 8000.
Calculer mentalement 19 × 6.
19 × 6 = (20 − 1) × 6 = 20 × 6 − 1 × 6 = 120 − 6 = 114.