Exercices corrigés — Angles et triangles (5e)

a) Deux angles sont complémentaires lorsque leurs mesures ont pour somme 90° : le complémentaire de 38° mesure 90 − 38 = 52°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque leurs mesures ont pour somme 180° : le supplémentaire de 38° mesure 180 − 38 = 142°.
Vérification : 38 + 52 = 90 et 38 + 142 = 180.
b) Les deux mesures ont pour somme 90° et pour différence 20°. Si l'on retire 20° au total, il reste 70° à partager en deux parts égales : 70 ÷ 2 = 35°, et l'autre angle mesure 35 + 20 = 55°. Vérification : 35 + 55 = 90 et 55 − 35 = 20.

Les angles angle AOC et angle BOD ont le même sommet O et leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre : ils sont opposés par le sommet. Or deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, donc angle BOD = 57°.
Les angles angle AOC et angle AOD sont adjacents (même sommet, côté commun [OA)) et forment ensemble l'angle plat angle COD : ils sont supplémentaires. Donc angle AOD = 180 − 57 = 123°.
Les angles angle COB et angle AOD sont opposés par le sommet, donc angle COB = 123°.
Vérification : autour du point O, 57 + 123 + 57 + 123 = 360°, le tour complet.

Propriété : si deux droites sont parallèles, toute sécante forme avec elles des angles alternes-internes de même mesure. Les droites (d) et (d') sont parallèles, donc l'angle alterne-interne de l'angle de 118° mesure aussi 118°.
Sur (d'), l'angle adjacent à cet angle de 118° forme avec lui un angle plat : les deux angles sont supplémentaires. Il mesure 180 − 118 = 62°.
Bilan : autour de chaque point d'intersection, on trouve seulement deux mesures, 118° et 62°, qui alternent. Les angles obtus sont tous égaux entre eux, les angles aigus aussi.
Attention : sans l'hypothèse « (d) et (d') parallèles », on ne pourrait rien conclure sur l'angle alterne-interne.

a) Les angles angle ABC et angle BCD sont formés par les droites (AB) et (CD) avec la sécante (BC) ; ils sont situés de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites : ce sont des angles alternes-internes.
Ils ont la même mesure, 74°. Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Donc (AB) et (CD) sont parallèles.
b) Si angle BCD = 76°, les angles alternes-internes ne sont pas égaux (74° ≠ 76°). Si les droites étaient parallèles, ces angles seraient égaux ; ce n'est pas le cas, donc (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
Même un écart de 2° suffit : les droites se coupent, loin mais elles se coupent.

a) Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 180 − 90 = 90°). Donc angle C = 90 − 37 = 53°.
Vérification : 90 + 37 + 53 = 180°.
b) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. Donc angle T = 180 − (63 + 48) = 180 − 111 = 69°.
Les trois angles, 63°, 48° et 69°, sont tous différents et tous aigus : le triangle RST est quelconque, et il n'est ni rectangle, ni isocèle. Vérification : 63 + 48 + 69 = 180°.

a) Le triangle MNP est isocèle en M : les angles à la base, angle N et angle P, ont la même mesure, donc angle P = 55°. La somme des angles vaut 180° : angle M = 180 − 2 × 55 = 180 − 110 = 70°.
b) DEF est isocèle en D : angle E = angle F. Leur somme vaut 180 − 112 = 68°, donc angle E = angle F = 68 ÷ 2 = 34°. Vérification : 112 + 34 + 34 = 180°.
c) Non. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; s'ils mesuraient 95° chacun, leur somme 190° dépasserait déjà 180°. Les angles à la base d'un triangle isocèle sont toujours aigus.

Inégalité triangulaire : un triangle est constructible lorsque la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres. Il suffit de tester la plus grande longueur.
a) Plus grande longueur 9 ; 5 + 5 = 10 et 9 < 10 : le triangle est constructible (il est isocèle).
b) Plus grande longueur 6 ; 2 + 3 = 5 et 6 > 5 : le triangle n'est pas constructible, les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre.
c) Trois longueurs égales : 4,5 < 4,5 + 4,5 = 9, constructible ; c'est un triangle équilatéral. d) 3 + 4 = 7 : la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres. Les trois points sont alignés, le « triangle » est aplati ; on ne peut pas construire de vrai triangle.

a) La somme des angles d'un triangle est 180° : angle ACB = 180 − (35 + 110) = 180 − 145 = 35°. Le triangle a deux angles égaux, en A et en C : il est isocèle en B, donc BA = BC = 7 cm.
b) Construction : tracer le segment [AB] de 7 cm. Avec le rapporteur, tracer la demi-droite d'origine A formant un angle de 35° avec [AB). Tracer la demi-droite d'origine B formant un angle de 110° avec [BA), du même côté de (AB). Le point C est l'intersection de ces deux demi-droites.
c) Vérification : mesurer angle ACB au rapporteur, on doit lire 35° ; mesurer BC à la règle, on doit trouver 7 cm, puisque le triangle est isocèle en B.
Calculer le troisième angle avant de construire permet de repérer une erreur de rapporteur.