Angles et triangles — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 11 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Rappels sur les angles
Définition
Un angle est mesuré en degrés (°) avec un rapporteur. Un angle est :
- nul si sa mesure est 0° ;
- aigu si sa mesure est comprise entre 0° et 90° ;
- droit si sa mesure est 90° ;
- obtus si sa mesure est comprise entre 90° et 180° ;
- plat si sa mesure est 180°.
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
2. Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires
Définition
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Définition
- Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.
- Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.
3. Angles opposés par le sommet
Définition
Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre. Deux droites sécantes forment deux paires d'angles opposés par le sommet.
Propriété
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
4. Angles formés par deux droites et une sécante
Définition
Soit deux droites (d) et (d') coupées par une troisième droite (sécante) (s) en deux points distincts.
- Deux angles sont alternes-internes s'ils sont situés de part et d'autre de la sécante, entre les droites (d) et (d'), et non adjacents.
- Deux angles sont correspondants s'ils sont situés du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites et l'autre à l'extérieur, et non adjacents.
Propriété 1
Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante forme avec elles des angles alternes-internes de même mesure et des angles correspondants de même mesure.
Propriété 2
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
5. Somme des angles d'un triangle
Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Propriété
- Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
- Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.
- Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.
6. Inégalité triangulaire
Propriété
Dans un triangle ABC, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés : AB < AC + CB.
Si AB = AC + CB, alors le point C appartient au segment [AB] (le triangle est « aplati »).
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
Il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.
Méthode 2
Pour construire ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm :
- Tracer le segment [AB] de 6 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm.
- Le point C est à l'intersection des deux arcs. Tracer [AC] et [BC].
Méthode 3
Pour construire ABC avec AB = 5 cm, AC = 3 cm et angle BAC = 50° :
- Tracer [AB] de 5 cm.
- Avec le rapporteur, tracer une demi-droite [Ax) telle que angle BAx = 50°.
- Placer C sur cette demi-droite à 3 cm de A. Tracer [BC].
Méthode 4
Pour construire ABC avec AB = 6 cm, angle BAC = 40° et angle ABC = 65° :
- Tracer [AB] de 6 cm.
- Tracer la demi-droite d'origine A formant un angle de 40° avec [AB).
- Tracer la demi-droite d'origine B formant un angle de 65° avec [BA), du même côté.
- C est le point d'intersection des deux demi-droites.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés