Angles et triangles — cours de 5e
Rappels sur les angles, Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires, Angles opposés par le sommet, Angles formés par deux droites et une sécante Lecture ≈ 5 min.
1. Rappels sur les angles
Un angle est mesuré en degrés (°) avec un rapporteur. Un angle est :
- nul si sa mesure est 0° ;
- aigu si sa mesure est comprise entre 0° et 90° ;
- droit si sa mesure est 90° ;
- obtus si sa mesure est comprise entre 90° et 180° ;
- plat si sa mesure est 180°.
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
2. Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
- Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.
- Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Un angle de 35° et un angle de 55° sont complémentaires (35 + 55 = 90).
Un angle de 110° et un angle de 70° sont supplémentaires (110 + 70 = 180).
Si deux angles adjacents forment un angle plat, ils sont supplémentaires.
Le complémentaire d'un angle de 27° mesure 90 − 27 = 63°. Le supplémentaire d'un angle de 27° mesure 180 − 27 = 153°.
3. Angles opposés par le sommet
Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre. Deux droites sécantes forment deux paires d'angles opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Les droites (AB) et (CD) se coupent en O. Si l'angle AOC mesure 40°, alors l'angle BOD, opposé par le sommet, mesure aussi 40°. Les angles AOD et COB mesurent chacun 180 − 40 = 140° (supplémentaires de AOC, car adjacents et formant un angle plat).
4. Angles formés par deux droites et une sécante
Soit deux droites (d) et (d') coupées par une troisième droite (sécante) (s) en deux points distincts.
- Deux angles sont alternes-internes s'ils sont situés de part et d'autre de la sécante, entre les droites (d) et (d'), et non adjacents.
- Deux angles sont correspondants s'ils sont situés du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites et l'autre à l'extérieur, et non adjacents.
Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante forme avec elles des angles alternes-internes de même mesure et des angles correspondants de même mesure.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Les droites (d) et (d') sont parallèles, coupées par une sécante (s). Un angle formé par (d) et (s) mesure 65°. Alors l'angle alterne-interne de ce premier angle, formé par (d') et (s), mesure aussi 65°, et son angle correspondant mesure lui aussi 65°.
Deux droites (AB) et (CD) sont coupées par la sécante (AC). On mesure : angle BAC = 52° et angle ACD = 52°. Ces angles sont alternes-internes et de même mesure, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Si on avait mesuré angle BAC = 52° et angle ACD = 50°, on aurait conclu que (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
5. Somme des angles d'un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
- Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
- Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.
- Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.
Dans un triangle ABC, angle A = 48° et angle B = 71°. Calculer l'angle C.
angle C = 180 − (48 + 71) = 180 − 119 = 61°.
Le triangle DEF est isocèle en D avec angle D = 40°. Calculer les angles E et F.
Les angles E et F sont égaux et leur somme est 180 − 40 = 140°. Donc angle E = angle F = 140 ÷ 2 = 70°.
Un triangle peut-il avoir des angles de 95°, 60° et 35° ? 95 + 60 + 35 = 190 ≠ 180 : non, ce triangle n'existe pas.
6. Inégalité triangulaire
Dans un triangle ABC, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés : AB < AC + CB.
Si AB = AC + CB, alors le point C appartient au segment [AB] (le triangle est « aplati »).
Il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.
Peut-on construire un triangle de côtés 7 cm, 4 cm et 5 cm ? Plus grande longueur : 7. 4 + 5 = 9 et 7 < 9 : oui.
Peut-on construire un triangle de côtés 10 cm, 3 cm et 6 cm ? 3 + 6 = 9 et 10 > 9 : non.
Avec 8 cm, 3 cm et 5 cm : 3 + 5 = 8 = 8 : les trois points sont alignés, pas de « vrai » triangle.
7. Construction de triangles
Pour construire ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm :
- Tracer le segment [AB] de 6 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm.
- Le point C est à l'intersection des deux arcs. Tracer [AC] et [BC].
Pour construire ABC avec AB = 5 cm, AC = 3 cm et angle BAC = 50° :
- Tracer [AB] de 5 cm.
- Avec le rapporteur, tracer une demi-droite [Ax) telle que angle BAx = 50°.
- Placer C sur cette demi-droite à 3 cm de A. Tracer [BC].
Pour construire ABC avec AB = 6 cm, angle BAC = 40° et angle ABC = 65° :
- Tracer [AB] de 6 cm.
- Tracer la demi-droite d'origine A formant un angle de 40° avec [AB).
- Tracer la demi-droite d'origine B formant un angle de 65° avec [BA), du même côté.
- C est le point d'intersection des deux demi-droites.
On veut construire un triangle avec AB = 6 cm, angle A = 40° et angle B = 65°. Avant de construire, on peut calculer angle C = 180 − 40 − 65 = 75°, ce qui permettra de vérifier la construction au rapporteur.