Exercices corrigés — Aires (5e)

Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois l'unité immédiatement inférieure : on multiplie par 100 à chaque rang descendu, on divise par 100 à chaque rang monté.
a) De dm² à cm², un rang vers le bas : 4,2 × 100 = 420 cm².
b) De km² à m², trois rangs (km, hm, dam, m) : 0,8 × 100 × 100 × 100 = 0,8 × 1 000 000 = 800 000 m².
c) De cm² à m², deux rangs vers le haut : 35 000 ÷ 10 000 = 3,5 m². d) 1 ha = 1 hm² = 10 000 m², donc 2,5 ha = 2,5 × 10 000 = 25 000 m². Erreur classique : multiplier par 10 au lieu de 100 comme pour les longueurs.

Aire d'un parallélogramme : base × hauteur. A = 7,5 × 4 = 30 cm².
Aire d'un triangle : (base × hauteur) ÷ 2. A = (7,5 × 4) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15 cm².
L'aire du triangle est la moitié de celle du parallélogramme de même base et de même hauteur : un triangle est la moitié d'un parallélogramme coupé selon une diagonale.
Rappel : la hauteur est la longueur mesurée perpendiculairement à la base, pas un côté oblique.

a) Dans un triangle rectangle en A, les côtés [AB] et [AC] de l'angle droit sont perpendiculaires : l'un est une base et l'autre la hauteur correspondante. Aire = (AB × AC) ÷ 2 = (6 × 8) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm².
b) On calcule la même aire avec la base [BC] et la hauteur AH : Aire = (BC × AH) ÷ 2 = (10 × AH) ÷ 2 = 5 × AH.
Or cette aire vaut 24 cm², donc 5 × AH = 24 et AH = 24 ÷ 5 = 4,8 cm.
Vérification : (10 × 4,8) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm². La hauteur AH est plus courte que AB et AC, ce qui est normal : c'est la plus courte distance de A à la droite (BC).

Aire du disque de rayon r : A = π × r × r. Ici A = π × 4 × 4 = 16π cm² (valeur exacte). Avec la calculatrice : 16π ≈ 50,27, soit 50,3 cm² arrondi au dixième.
Longueur du cercle : P = 2 × π × r = 2 × π × 4 = 8π cm (valeur exacte) ≈ 25,13, soit 25,1 cm au dixième.
La valeur exacte garde π ; la valeur arrondie remplace π par une approximation, on écrit alors ≈ et non =.
Attention aux unités : l'aire est en cm² (surface), la longueur du cercle en cm (ligne).

On part de la formule A = (b × h) ÷ 2 et l'on remplace ce que l'on connaît : 24 = (b × 6) ÷ 2.
Le produit b × 6 vaut donc le double de 24 : b × 6 = 48.
Alors b = 48 ÷ 6 = 8 cm. En une formule : b = 2 × A ÷ h = 2 × 24 ÷ 6 = 8 cm.
Vérification : (8 × 6) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm².

a) Aire = base × hauteur correspondante = AB × 4 = 9 × 4 = 36 cm². Le côté BC = 6 cm ne sert pas ici : il est oblique par rapport à [AB], ce n'est pas la hauteur.
b) La même aire se calcule avec la base [BC] et la hauteur h' relative à ce côté : 36 = 6 × h'.
Donc h' = 36 ÷ 6 = 6 cm.
Vérification : 6 × 6 = 36 cm². La hauteur relative à [BC] (6 cm) est plus grande que celle relative à [AB] (4 cm) : la base la plus courte va avec la hauteur la plus longue, leur produit étant constant.

Aire du jardin : 12 × 9 = 108 m².
Le bassin a pour diamètre 4 m, donc pour rayon 4 ÷ 2 = 2 m. Aire du bassin : π × 2 × 2 = 4π m² ≈ 12,57 m².
Aire de la pelouse : on retire le bassin, 108 − 4π m² (valeur exacte) ≈ 108 − 12,57 = 95,43, soit environ 95 m².
Erreur à éviter : prendre 4 m comme rayon donnerait 16π ≈ 50 m², quatre fois trop. Le rayon est la moitié du diamètre.

a) On découpe la figure en deux morceaux simples. Rectangle : 1,2 × 1,5 = 1,8 m².
Demi-disque : le diamètre vaut 1,2 m, donc le rayon 0,6 m. Aire du disque entier : π × 0,6 × 0,6 = 0,36π m² ; aire du demi-disque : 0,36π ÷ 2 = 0,18π m².
Aire totale exacte : 1,8 + 0,18π m².
b) 0,18π ≈ 0,5655, donc l'aire vaut environ 1,8 + 0,5655 = 2,3655, soit 2,37 m² au centième. Conversion : 1 m² = 10 000 cm², donc 2,37 × 10 000 = 23 700 cm². Contrôle : le demi-disque tient dans un rectangle de 1,2 m sur 0,6 m d'aire 0,72 m², et 0,5655 < 0,72, c'est cohérent.