Aires — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 9 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Rappels : unités et formules connues
Définition
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface. L'unité de référence est le mètre carré (m2), aire d'un carré de 1 m de côté.
Propriété
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Chaque unité vaut 100 fois l'unité immédiatement inférieure. | ||||||
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 ; 1 cm2 = 100 mm2 ; 1 km2 = 1 000 000 m2.
Unités agraires : 1 ha (hectare) = 1 hm2 = 10 000 m2 ; 1 a (are) = 1 dam2 = 100 m2.
Propriété
- Aire du carré de côté c : A = c × c = c2.
- Aire du rectangle de longueur L et de largeur l : A = L × l.
- Aire du triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent a et b : A = (a × b) ÷ 2.
2. Aire du parallélogramme
Définition
Dans un parallélogramme, une hauteur est un segment perpendiculaire à deux côtés opposés, dont les extrémités sont sur ces côtés (ou leur prolongement). Le côté choisi est appelé la base correspondante.
Propriété
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit d'une base par la hauteur correspondante :
A = base × hauteur = b × h
Justification : en découpant un triangle rectangle d'un côté du parallélogramme et en le recollant de l'autre côté, on obtient un rectangle de mêmes dimensions b et h.
3. Aire du triangle
Définition
Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est le segment perpendiculaire au côté opposé, passant par ce sommet. Ce côté opposé est la base correspondante. Un triangle a trois hauteurs.
Dans un triangle ayant un angle obtus, deux des hauteurs sont à l'extérieur du triangle (le pied de la hauteur est sur le prolongement du côté).
Propriété
L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une base par la hauteur correspondante :
A = (base × hauteur) ÷ 2 = b × h2
Justification : un triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur.
4. Aire du disque
Définition
Le disque de centre O et de rayon r est la surface limitée par le cercle de centre O et de rayon r. Le cercle est la ligne (on parle de sa longueur, ou périmètre) ; le disque est la surface (on parle de son aire).
Propriété
- Longueur du cercle de rayon r : P = 2 × π × r (ou π × diamètre).
- Aire du disque de rayon r : A = π × r × r = π × r2.
Le nombre π (« pi ») vaut environ 3,14 (plus précisément 3,14159...). Il n'a pas d'écriture décimale exacte.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
Si l'énoncé demande une valeur exacte, on laisse π dans le résultat (ex. : 25π cm2). Si l'énoncé demande une valeur approchée, on utilise la touche π de la calculatrice ou 3,14 et on arrondit.
Méthode 2
- Découper la figure en figures simples (rectangles, triangles, parallélogrammes, disques ou portions de disques).
- Calculer l'aire de chaque morceau.
- Additionner les aires (ou soustraire si une partie est enlevée).
Ne pas oublier de vérifier que toutes les longueurs sont dans la même unité.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés