Aires — cours de 5e
Rappels, Aire du parallélogramme, Aire du triangle, Aire du disque Lecture ≈ 5 min.
1. Rappels : unités et formules connues
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface. L'unité de référence est le mètre carré (m2), aire d'un carré de 1 m de côté.
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Chaque unité vaut 100 fois l'unité immédiatement inférieure. | ||||||
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 ; 1 cm2 = 100 mm2 ; 1 km2 = 1 000 000 m2.
Unités agraires : 1 ha (hectare) = 1 hm2 = 10 000 m2 ; 1 a (are) = 1 dam2 = 100 m2.
- Aire du carré de côté c : A = c × c = c2.
- Aire du rectangle de longueur L et de largeur l : A = L × l.
- Aire du triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent a et b : A = (a × b) ÷ 2.
Convertir 3,5 m2 en cm2 : 3,5 × 10 000 = 35 000 cm2.
Convertir 250 mm2 en cm2 : 250 ÷ 100 = 2,5 cm2.
2. Aire du parallélogramme
Dans un parallélogramme, une hauteur est un segment perpendiculaire à deux côtés opposés, dont les extrémités sont sur ces côtés (ou leur prolongement). Le côté choisi est appelé la base correspondante.
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit d'une base par la hauteur correspondante :
A = base × hauteur = b × h
Justification : en découpant un triangle rectangle d'un côté du parallélogramme et en le recollant de l'autre côté, on obtient un rectangle de mêmes dimensions b et h.
Un parallélogramme a une base de 8 cm et la hauteur correspondante mesure 4,5 cm. Son aire est 8 × 4,5 = 36 cm2.
Attention : un côté de 6 cm oblique n'est pas la hauteur. Seule la longueur perpendiculaire compte.
Un parallélogramme a une aire de 54 m2 et une base de 12 m. Quelle est la hauteur correspondante ?
h = 54 ÷ 12 = 4,5 m.
3. Aire du triangle
Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est le segment perpendiculaire au côté opposé, passant par ce sommet. Ce côté opposé est la base correspondante. Un triangle a trois hauteurs.
Dans un triangle ayant un angle obtus, deux des hauteurs sont à l'extérieur du triangle (le pied de la hauteur est sur le prolongement du côté).
L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une base par la hauteur correspondante :
A = (base × hauteur) ÷ 2 = b × h2
Justification : un triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur.
Un triangle a une base de 10 cm et la hauteur correspondante mesure 6 cm. Son aire est (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm2.
Dans le triangle ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. La hauteur issue de A mesure 2,4 cm.
Aire avec la base [AB] et la hauteur AC : (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm2.
Aire avec la base [BC] et la hauteur 2,4 cm : (5 × 2,4) ÷ 2 = 6 cm2. On retrouve bien la même aire.
4. Aire du disque
Le disque de centre O et de rayon r est la surface limitée par le cercle de centre O et de rayon r. Le cercle est la ligne (on parle de sa longueur, ou périmètre) ; le disque est la surface (on parle de son aire).
- Longueur du cercle de rayon r : P = 2 × π × r (ou π × diamètre).
- Aire du disque de rayon r : A = π × r × r = π × r2.
Le nombre π (« pi ») vaut environ 3,14 (plus précisément 3,14159...). Il n'a pas d'écriture décimale exacte.
Si l'énoncé demande une valeur exacte, on laisse π dans le résultat (ex. : 25π cm2). Si l'énoncé demande une valeur approchée, on utilise la touche π de la calculatrice ou 3,14 et on arrondit.
Aire d'un disque de rayon 5 cm : A = π × 52 = 25π cm2 ≈ 78,5 cm2.
Longueur du cercle correspondant : 2 × π × 5 = 10π cm ≈ 31,4 cm.
Une pizza a un diamètre de 30 cm. Quelle est son aire ?
Rayon : 30 ÷ 2 = 15 cm. A = π × 152 = 225π cm2 ≈ 706,9 cm2.
Aire d'un demi-disque de rayon 15 cm : 225π ÷ 2 = 112,5π cm2 ≈ 353,4 cm2.
5. Aires de figures composées
- Découper la figure en figures simples (rectangles, triangles, parallélogrammes, disques ou portions de disques).
- Calculer l'aire de chaque morceau.
- Additionner les aires (ou soustraire si une partie est enlevée).
Ne pas oublier de vérifier que toutes les longueurs sont dans la même unité.
Une figure est formée d'un rectangle de 8 cm sur 5 cm surmonté d'un triangle de base 8 cm et de hauteur 3 cm (forme de « maison »).
Aire du rectangle : 8 × 5 = 40 cm2. Aire du triangle : (8 × 3) ÷ 2 = 12 cm2.
Aire totale : 40 + 12 = 52 cm2.
Un carré de 10 cm de côté est percé d'un trou circulaire de rayon 3 cm.
Aire du carré : 102 = 100 cm2. Aire du disque : π × 32 = 9π ≈ 28,3 cm2.
Aire restante : 100 − 9π ≈ 71,7 cm2.
Une piste est formée d'un rectangle de 20 m sur 10 m avec, à chaque extrémité, un demi-disque de diamètre 10 m.
Les deux demi-disques forment un disque entier de rayon 5 m : aire π × 25 = 25π ≈ 78,5 m2.
Aire du rectangle : 200 m2. Aire totale : 200 + 25π ≈ 278,5 m2.