Exercices corrigés — Théorème de Thalès (4e)

Les droites (PR) et (QS) sont sécantes en O et (PQ) // (RS). D'après le théorème de Thalès : OPOR = OQOS = PQRS, soit 68 = 4,5OS = 5RS.
C'est une configuration croisée (O entre P et R, entre Q et S) : le théorème s'applique de la même façon, en associant à chaque longueur du triangle OPQ la longueur correspondante du triangle ORS.
OS : 68 = 4,5OS donne OS = 4,5 × 86 = 366 = 6 cm.
RS : 68 = 5RS donne RS = 5 × 86 = 406 = 203 cm ≈ 6,67 cm. On garde la valeur exacte 203 cm, puis on arrondit si l'énoncé le demande.

a) Dans une réduction de rapport 0,4, toutes les longueurs sont multipliées par 0,4. Le périmètre, somme des trois longueurs, est donc lui aussi multiplié par 0,4 : périmètre de AMN = 30 × 0,4 = 12 cm.
b) Les angles sont conservés par une réduction. L'angle AMN correspond à l'angle ABC (ce sont des angles correspondants formés par les parallèles (MN) et (BC) avec la sécante (AB)) : angle AMN = 50°.
c) L'aire est un produit de deux longueurs (par exemple base × hauteur ÷ 2), chacune multipliée par 0,4 : l'aire est multipliée par 0,4 × 0,4 = 0,16. Aire de AMN = 50 × 0,16 = 8 cm².
Erreur à éviter : multiplier l'aire par 0,4, ce qui donnerait 20 cm². Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k².