Exercices corrigés — Théorème de Thalès (4e)

a) On sait que, dans le triangle DEF, I est le milieu de [DE] et J le milieu de [DF]. Or, si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté, et le segment joignant ces milieux mesure la moitié du troisième côté.
Donc (IJ) // (EF) et IJ = EF2 = 112 = 5,5 cm.
b) On sait que K est le milieu de [DE] et que la droite (KL) est parallèle à (EF). Or, si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Donc L est le milieu de [DF]. Cette réciproque du théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès avec le rapport 12.

a) Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC.
Il faut impérativement citer les deux hypothèses (droites sécantes en A, droites parallèles) avant d'écrire les quotients, et respecter l'ordre : chaque quotient a une longueur du petit triangle au numérateur et la longueur correspondante du grand au dénominateur.
b) Le rapport de réduction est k = AMAB = 410 = 0,4 : toutes les longueurs de AMN sont égales à celles de ABC multipliées par 0,4.
c) MNBC = 0,4, donc MN = 0,4 × 15 = 6 cm. Vérification : 615 = 0,4.