Théorème de Thalès — cours de 4e

Droite des milieux (rappels), Configuration de Thalès, Théorème de Thalès, Agrandissement et réduction Lecture ≈ 4 min.

1. Droite des milieux (rappels)

Propriété (théorème des milieux)Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
De plus, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du troisième côté.
Si M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC], alors (MN) // (BC) et MN = BC2.

Propriété (réciproque)Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

ExempleDans le triangle ABC, M est le milieu de [AB], N celui de [AC] et BC = 7 cm. Alors (MN) // (BC) et MN = 3,5 cm.

2. Configuration de Thalès

DéfinitionOn considère un triangle ABC. Soit M un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC) tels que (MN) // (BC). On dit que les triangles AMN et ABC sont en configuration de Thalès.
Deux cas sont possibles :

M ∈ [AB] et N ∈ [AC] : le petit triangle AMN est « emboîté » dans ABC (configuration classique) ;
M et N sont de l'autre côté de A par rapport à B et C : les triangles forment un « nœud papillon » (configuration croisée).

Dans les deux cas, les triangles AMN et ABC ont un sommet commun A, et les côtés [MN] et [BC] sont parallèles.


Configuration classique             Configuration croisée

        A                                 N _______ M
       / \                                  \     /
      /   \                                  \   /
     M-----N   (MN) // (BC)                   \ /
    /       \                                  A
   /         \                                / \
  B-----------C                              /   \
                                            B-----C

3. Théorème de Thalès

Propriété (théorème de Thalès)Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d) distincts de A, et C et N deux points de (d') distincts de A.
Si (MN) // (BC), alors AMAB = ANAC = MNBC.
Autrement dit, les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle ABC : on dit que le triangle AMN est un agrandissement ou une réduction du triangle ABC.

Méthode (calculer une longueur avec le théorème de Thalès)

Identifier la configuration : nommer les droites sécantes, le point d'intersection et les droites parallèles.
Rédiger : « Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC), donc d'après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC. »
Remplacer les longueurs connues.
Choisir les deux quotients utiles (celui qui contient l'inconnue et un qui est entièrement connu) et calculer par produit en croix.

Astuce : dans chaque quotient, le numérateur est une longueur du petit triangle et le dénominateur la longueur « correspondante » du grand triangle (même sommet A au départ, ou côtés parallèles).

ExempleDans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7,5 cm et BC = 6 cm. Calculer AN et MN.
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC = MNBC, soit 35 = AN7,5 = MN6.
AN = 3 × 7,55 = 22,55 = 4,5 cm.
MN = 3 × 65 = 185 = 3,6 cm.

Exemple (configuration croisée)Les droites (BM) et (CN) se coupent en A, avec A entre B et M, et A entre C et N. On donne AB = 8 cm, AC = 6 cm, AM = 4 cm et BC = 10 cm. On sait que (MN) // (BC). Calculer AN et MN.
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC = MNBC, soit 48 = AN6 = MN10.
AN = 4 × 68 = 3 cm et MN = 4 × 108 = 5 cm.
Le triangle AMN est une réduction de rapport 12 du triangle ABC.

Exemple (application)Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on plante un bâton vertical de 1,5 m à 4 m du pied de l'arbre, de sorte que le sommet de l'ombre du bâton coïncide avec celui de l'ombre de l'arbre. L'ombre de l'arbre mesure 10 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Le bâton et l'arbre sont verticaux, donc parallèles ; les rayons du soleil forment la droite passant par les sommets. Le point d'intersection au sol est A ; l'extrémité de l'ombre de l'arbre. Distance de A au bâton : 10 − 4 = 6 m. Distance de A à l'arbre : 10 m.
Thalès : 610 = 1,5h, donc h = 1,5 × 106 = 2,5 m.

4. Agrandissement et réduction

PropriétéDans une configuration de Thalès, le triangle AMN est l'image du triangle ABC par un agrandissement ou une réduction de rapport k = AMAB. Toutes les longueurs sont multipliées par k, les angles sont conservés. (Si k > 1 : agrandissement ; si k < 1 : réduction.)

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