Exercices corrigés — Théorème de Thalès (4e)

a) On sait que, dans le triangle DEF, I est le milieu de [DE] et J le milieu de [DF]. Or, si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté, et le segment joignant ces milieux mesure la moitié du troisième côté.
Donc (IJ) // (EF) et IJ = EF2 = 112 = 5,5 cm.
b) On sait que K est le milieu de [DE] et que la droite (KL) est parallèle à (EF). Or, si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Donc L est le milieu de [DF]. Cette réciproque du théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès avec le rapport 12.

a) Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC.
Il faut impérativement citer les deux hypothèses (droites sécantes en A, droites parallèles) avant d'écrire les quotients, et respecter l'ordre : chaque quotient a une longueur du petit triangle au numérateur et la longueur correspondante du grand au dénominateur.
b) Le rapport de réduction est k = AMAB = 410 = 0,4 : toutes les longueurs de AMN sont égales à celles de ABC multipliées par 0,4.
c) MNBC = 0,4, donc MN = 0,4 × 15 = 6 cm. Vérification : 615 = 0,4.

AB = AM + MB = 2 + 4 = 6 cm, car M est sur le segment [AB].
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC, soit 26 = 3AC = MN9.
Calcul de AC : 26 = 3AC donne AC = 3 × 62 = 9 cm. Donc NC = AC − AN = 9 − 3 = 6 cm.
Calcul de MN : 26 = MN9 donne MN = 2 × 96 = 3 cm. Cohérence : le rapport 26 = 13 s'applique bien à chaque côté (AN = 3 est le tiers de AC = 9, MN = 3 le tiers de BC = 9).

DE = DG + GE = 4,5 + 3 = 7,5 cm.
Les droites (EG) et (FH) sont sécantes en D et (GH) // (EF). D'après le théorème de Thalès : DGDE = DHDF = GHEF, soit 4,57,5 = 6DF = 5,4EF.
Le rapport 4,57,5 = 0,6. DF : 6DF = 0,6 donne DF = 60,6 = 10 cm, donc HF = DF − DH = 10 − 6 = 4 cm.
EF : 5,4EF = 0,6 donne EF = 5,40,6 = 9 cm. Vérification : 610 = 0,6 et 5,49 = 0,6, les trois quotients sont égaux.

Les droites (PR) et (QS) sont sécantes en O et (PQ) // (RS). D'après le théorème de Thalès : OPOR = OQOS = PQRS, soit 68 = 4,5OS = 5RS.
C'est une configuration croisée (O entre P et R, entre Q et S) : le théorème s'applique de la même façon, en associant à chaque longueur du triangle OPQ la longueur correspondante du triangle ORS.
OS : 68 = 4,5OS donne OS = 4,5 × 86 = 366 = 6 cm.
RS : 68 = 5RS donne RS = 5 × 86 = 406 = 203 cm ≈ 6,67 cm. On garde la valeur exacte 203 cm, puis on arrondit si l'énoncé le demande.

a) Dans une réduction de rapport 0,4, toutes les longueurs sont multipliées par 0,4. Le périmètre, somme des trois longueurs, est donc lui aussi multiplié par 0,4 : périmètre de AMN = 30 × 0,4 = 12 cm.
b) Les angles sont conservés par une réduction. L'angle AMN correspond à l'angle ABC (ce sont des angles correspondants formés par les parallèles (MN) et (BC) avec la sécante (AB)) : angle AMN = 50°.
c) L'aire est un produit de deux longueurs (par exemple base × hauteur ÷ 2), chacune multipliée par 0,4 : l'aire est multipliée par 0,4 × 0,4 = 0,16. Aire de AMN = 50 × 0,16 = 8 cm².
Erreur à éviter : multiplier l'aire par 0,4, ce qui donnerait 20 cm². Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k².

Notons S la source, A le pied de l'objet et B son sommet (AB = 12 cm), A' et B' le pied et le sommet de l'ombre sur le mur. L'objet et le mur sont verticaux, donc (AB) // (A'B'). Les rayons lumineux (SA') et (SB') sont sécants en S, avec A ∈ [SA'] et B ∈ [SB'].
D'après le théorème de Thalès : SASA' = SBSB' = ABA'B', soit 2060 = 12A'B'.
A'B' = 12 × 6020 = 36 cm.
L'ombre mesure 36 cm de haut. Cohérence : le mur est 3 fois plus loin de la source que l'objet, l'ombre est 3 fois plus grande que l'objet (agrandissement de rapport 3).

On raisonne à partir de l'horizontale passant par l'œil O, qui coupe le piquet en A et la verticale de l'immeuble en B. Au-dessus de cette horizontale, le piquet dépasse de PA = 3,20 − 1,70 = 1,50 m, et l'immeuble dépasse de SB, inconnue.
Le piquet et l'immeuble sont verticaux, donc (PA) // (SB). Les droites (OB) et (OS) sont sécantes en O, avec A ∈ [OB] et P ∈ [OS] (P, S et O sont alignés). D'après le théorème de Thalès : OAOB = OPOS = PASB, soit 240 = 1,5SB.
SB = 1,5 × 402 = 30 m.
Hauteur de l'immeuble : SB + 1,70 = 31,70 m. Erreur à éviter : oublier d'ajouter la hauteur de l'œil, ou appliquer Thalès directement aux hauteurs totales 3,20 et h alors que les rayons passent par l'œil, à 1,70 m du sol, et non par le sol.