Exercices corrigés — Statistiques (4e)

Moyenne : somme des valeurs divisée par l'effectif. Somme = 172 + 185 + 179 + 190 + 168 + 181 + 175 + 188 + 179 = 1 617. Moyenne = 1 6179 ≈ 179,7 cm.
Médiane : on range les 9 valeurs dans l'ordre croissant : 168 ; 172 ; 175 ; 179 ; 179 ; 181 ; 185 ; 188 ; 190. L'effectif 9 est impair, la médiane est la valeur de rang 9 + 12 = 5, soit 179 cm.
Étendue : plus grande valeur moins plus petite valeur, 190 − 168 = 22 cm.
Interprétation : au moins la moitié des joueurs mesurent 179 cm ou moins ; la moyenne, 179,7 cm, est très proche de la médiane, la série est équilibrée.

a) Fréquence = effectif ÷ effectif total. Football : 1230 = 0,4 = 40 %. Basket : 930 = 0,3 = 30 %. Natation : 630 = 0,2 = 20 %. Aucun sport : 330 = 0,1 = 10 %.
Vérification : 40 + 30 + 20 + 10 = 100 %.
b) Les angles sont proportionnels aux effectifs, le total 30 correspondant à 360° : 360 ÷ 30 = 12° par élève.
Football : 12 × 12 = 144° ; basket : 9 × 12 = 108° ; natation : 6 × 12 = 72° ; aucun : 3 × 12 = 36°. Vérification : 144 + 108 + 72 + 36 = 360°.

a) Somme : 12 + 25 + 8 + 40 + 15 + 22 + 9 + 30 + 18 + 21 = 200. Moyenne : 20010 = 20 SMS.
Ordre croissant : 8 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25 ; 30 ; 40. L'effectif 10 est pair : la médiane est la moyenne des 5e et 6e valeurs, 18 + 212 = 19,5 SMS. Étendue : 40 − 8 = 32.
b) Nouvelle somme : 200 + 100 = 300 ; nouvelle moyenne : 30011 ≈ 27,3 SMS. Nouvelle série ordonnée (11 valeurs) : 8 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25 ; 30 ; 40 ; 100. La médiane est la 6e valeur : 21 SMS.
La moyenne a bondi de 20 à 27,3 alors que la médiane est passée de 19,5 à 21 : la moyenne est sensible à la valeur extrême 100, la médiane très peu. La médiane décrit mieux le comportement d'un élève « typique ».

Effectif total : N = 4 + 7 + 8 + 4 + 1 = 24 familles.
Moyenne pondérée : 0 × 4 + 1 × 7 + 2 × 8 + 3 × 4 + 4 × 124 = 0 + 7 + 16 + 12 + 424 = 3924 = 1,625 enfant par famille.
Médiane : N = 24 est pair, on cherche les 12e et 13e valeurs de la série ordonnée. Effectifs cumulés : 4 familles ont 0 enfant (rangs 1 à 4), 11 ont au plus 1 enfant (rangs 5 à 11), 19 ont au plus 2 enfants (rangs 12 à 19).
Les 12e et 13e valeurs valent toutes deux 2 : la médiane est 2 enfants. Au moins la moitié des familles ont 2 enfants ou moins.

Une moyenne de 13 pour 6 notes signifie que la somme des 6 notes vaut 6 × 13 = 78.
Somme des cinq notes connues : 10 + 15 + 12 + 14 + 11 = 62.
Sixième note : 78 − 62 = 16.
Vérification : 10 + 15 + 12 + 14 + 11 + 166 = 786 = 13.

a) Effectif total : 2 + 4 + 6 + 7 + 5 + 2 = 26 élèves. Somme des notes : 6 × 2 + 9 × 4 + 11 × 6 + 13 × 7 + 15 × 5 + 18 × 2 = 12 + 36 + 66 + 91 + 75 + 36 = 316. Moyenne : 31626 ≈ 12,2.
b) N = 26 est pair : la médiane est la moyenne des 13e et 14e notes. Effectifs cumulés : 2 (note 6), 6 (jusqu'à 9), 12 (jusqu'à 11), 19 (jusqu'à 13). Les rangs 13 à 19 correspondent à la note 13, donc les 13e et 14e notes valent 13 : médiane = 13. Étendue : 18 − 6 = 12.
c) Au moins 13 : 7 + 5 + 2 = 14 élèves. Pourcentage : 1426 ≈ 0,538, soit environ 53,8 %.
Cohérence : plus de la moitié des élèves ont 13 ou plus, ce qui correspond bien à une médiane égale à 13.

Moyenne : 9 × 1 800 + 9 00010 = 16 200 + 9 00010 = 25 20010 = 2 520 €.
Médiane : série ordonnée de 10 valeurs, neuf fois 1 800 puis 9 000. Les 5e et 6e valeurs sont 1 800, donc la médiane est 1 800 €.
Aucun salarié ne gagne 2 520 € : la moyenne est tirée vers le haut par le salaire du directeur, valeur extrême. La médiane, 1 800 €, correspond au salaire de 9 salariés sur 10.
La médiane décrit donc mieux le salaire « typique ». Selon l'indicateur choisi, on peut donner deux images très différentes de la même entreprise.

a) Magasin A : somme 20 + 22 + 21 + 23 + 19 + 22 + 20 = 147, moyenne 1477 = 21. Série ordonnée : 19 ; 20 ; 20 ; 21 ; 22 ; 22 ; 23, médiane (4e valeur) 21. Étendue : 23 − 19 = 4.
Magasin B : somme 5 + 40 + 12 + 35 + 8 + 30 + 17 = 147, moyenne 1477 = 21. Série ordonnée : 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; 30 ; 35 ; 40, médiane 17. Étendue : 40 − 5 = 35.
b) L'affirmation est exacte pour la moyenne : les deux magasins ont vendu 147 articles dans la semaine, soit 21 par jour en moyenne. Mais la médiane de B (17) est inférieure à celle de A (21) : plus de la moitié des jours, B vend moins que 21 articles, et compense par quelques très bonnes journées.
Le magasin A est beaucoup plus régulier : son étendue est 4 contre 35 pour B. Une même moyenne peut cacher des situations très différentes ; l'étendue mesure cette dispersion.