Statistiques — cours de 4e

Vocabulaire, Moyenne, Médiane, Étendue Lecture ≈ 4 min.

1. Vocabulaire

Définition

Une série statistique est l'ensemble des données recueillies lors d'une étude portant sur une population (élèves d'une classe, habitants d'une ville...).
Le caractère étudié peut être quantitatif (une valeur numérique : taille, note, âge) ou qualitatif (couleur, sport pratiqué).
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît. L'effectif total N est le nombre total de données.
La fréquence d'une valeur est le quotient : effectif de la valeur / effectif total. Elle s'exprime sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. La somme des fréquences vaut 1 (soit 100 %).

ExempleNotes d'un contrôle dans une classe de 25 élèves :

Note	8	10	12	14	16	18	Total
Effectif	3	5	7	6	3	1	25
Fréquence	0,12	0,20	0,28	0,24	0,12	0,04	1
Fréquence (%)	12	20	28	24	12	4	100

Fréquence de la note 12 : 725 = 0,28 = 28 %.

2. Moyenne

DéfinitionLa moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.
Lorsque les données sont présentées dans un tableau d'effectifs, on calcule la moyenne pondérée :
moyenne = (valeur₁ × effectif₁ + valeur₂ × effectif₂ + ...) / effectif total.

ExempleAvec le tableau des notes ci-dessus :
Moyenne = 8 × 3 + 10 × 5 + 12 × 7 + 14 × 6 + 16 × 3 + 18 × 125 = 24 + 50 + 84 + 84 + 48 + 1825 = 30825 = 12,32.

ExempleTempératures relevées à midi sur 7 jours : 21 ; 24 ; 19 ; 25 ; 23 ; 22 ; 26 (en °C).
Moyenne = 21 + 24 + 19 + 25 + 23 + 22 + 267 = 1607 ≈ 22,9 °C.

3. Médiane

DéfinitionUne médiane d'une série statistique est une valeur qui partage la série, rangée dans l'ordre croissant, en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié sont supérieures ou égales.

MéthodePour déterminer une médiane :

ranger les N valeurs dans l'ordre croissant (en répétant chaque valeur autant de fois que son effectif) ;
si N est impair, la médiane est la valeur du milieu, c'est-à-dire la valeur de rang N + 12 ;
si N est pair, on prend habituellement la moyenne des deux valeurs centrales (rangs N2 et N2 + 1).

ExempleTempératures : 21 ; 24 ; 19 ; 25 ; 23 ; 22 ; 26. Ordre croissant : 19 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26. N = 7 (impair), la médiane est la 4e valeur : 23 °C.

ExempleNombre de livres lus dans l'année par 8 élèves : 2 ; 5 ; 0 ; 3 ; 12 ; 4 ; 3 ; 6.
Ordre croissant : 0 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 12. N = 8 (pair), les deux valeurs centrales sont 3 et 4 : médiane = 3 + 42 = 3,5.
Moyenne = 358 = 4,375. La moyenne est « tirée vers le haut » par la valeur 12, contrairement à la médiane.

ExempleAvec le tableau des notes (N = 25) : la médiane est la 13e valeur. Effectifs cumulés : 3 (note 8), 8 (jusqu'à 10), 15 (jusqu'à 12). La 13e valeur est donc 12 : au moins la moitié des élèves ont 12 ou moins, au moins la moitié ont 12 ou plus.

4. Étendue

DéfinitionL'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion de la série.
Températures : étendue = 26 − 19 = 7 °C. Notes : étendue = 18 − 8 = 10.

5. Interprétation

Propriété

La moyenne et la médiane sont des indicateurs de position (ou de tendance centrale) : ils donnent une valeur « typique » de la série.
L'étendue est un indicateur de dispersion : elle indique si les valeurs sont regroupées ou éparpillées.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane ne l'est pas. Lorsque la moyenne est nettement supérieure à la médiane, quelques valeurs très grandes tirent la moyenne vers le haut.

ExempleDeux élèves ont les notes suivantes sur 5 contrôles.
Aïcha : 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 12 — moyenne 12, médiane 12, étendue 2.
Bilal : 5 ; 18 ; 12 ; 19 ; 6 — moyenne 12, médiane 12, étendue 14.
Les deux élèves ont la même moyenne et la même médiane, mais Aïcha a des résultats réguliers alors que ceux de Bilal sont très dispersés.

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