Exercices corrigés — Proportionnalité et fonctions (4e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Soit g la fonction définie par g(x) = x² + 1. Compléter le tableau de valeurs pour x = −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2. Quels sont les antécédents de 5 ? Le nombre 0 a-t-il un antécédent par g ?

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Correction détaillée

On calcule chaque image : g(−2) = (−2)² + 1 = 4 + 1 = 5 ; g(−1) = 1 + 1 = 2 ; g(0) = 0 + 1 = 1 ; g(1) = 2 ; g(2) = 5.

x	−2	−1	0	1	2
g(x)	5	2	1	2	5

Antécédents de 5 : on lit dans le tableau que g(−2) = 5 et g(2) = 5. En résolvant x² + 1 = 5, soit x² = 4, on retrouve x = 2 ou x = −2 : un nombre peut avoir deux antécédents.
Antécédent de 0 : il faudrait x² + 1 = 0, soit x² = −1. Or un carré est toujours positif ou nul, donc x² + 1 ≥ 1 pour tout x. Le nombre 0 n'a aucun antécédent par g.

Exercice 8 Challenge

Un plombier facture 40 € de déplacement puis 35 € par heure de travail. a) Exprimer le prix p(t) d'une intervention de t heures. b) Calculer p(3). Quelle durée correspond à une facture de 180 € ? c) Le prix est-il proportionnel à la durée ? Que peut-on dire de la représentation graphique de p ? d) Un second plombier facture 50 € par heure sans frais de déplacement. Pour quelle durée les deux factures sont-elles égales ?

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Correction détaillée

a) Le prix se compose des 40 € fixes et de 35 € par heure : p(t) = 35t + 40 (en euros, t en heures).
b) p(3) = 35 × 3 + 40 = 105 + 40 = 145 €. Pour 180 €, on résout 35t + 40 = 180 : 35t = 140, donc t = 4. Une facture de 180 € correspond à 4 heures de travail.
c) Non : à durée nulle, le prix n'est pas nul (p(0) = 40), et p(2) = 110 n'est pas le double de p(1) = 75. La représentation graphique de p est une droite (chaque heure ajoute 35 €), mais elle ne passe pas par l'origine : elle coupe l'axe des ordonnées en 40. Ce n'est pas une situation de proportionnalité.
d) Second plombier : q(t) = 50t, situation de proportionnalité. Factures égales lorsque 50t = 35t + 40, soit 15t = 40, donc t = 4015 = 83 h ≈ 2,67 h, soit 2 h 40 min. Vérification : 50 × 83 = 4003 ≈ 133,33 et 35 × 83 + 40 = 2803 + 1203 = 4003. Pour une intervention plus longue, le premier plombier est moins cher.

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