Exercices corrigés — Proportionnalité et fonctions (4e)

Le prix est proportionnel à la masse. Passage par l'unité : 1 kg coûte 7,50 ÷ 3 = 2,50 €.
Pour 5 kg : 5 × 2,50 = 12,50 €.
Avec 20 € : 20 ÷ 2,50 = 8 kg.
Vérification par le produit en croix : 5 kg coûtent 7,50 × 53 = 37,53 = 12,50 €. Les deux méthodes concordent.

a) Un tableau est de proportionnalité si l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même coefficient.
Tableau 1 : 10 ÷ 4 = 2,5 ; 17,5 ÷ 7 = 2,5 ; 25 ÷ 10 = 2,5. Le coefficient est le même, 2,5 : c'est un tableau de proportionnalité.
Tableau 2 : 5 ÷ 2 = 2,5 et 12,5 ÷ 5 = 2,5, mais 9 × 2,5 = 22,5 et non 23. Ce n'est pas un tableau de proportionnalité : il suffit d'une colonne qui ne respecte pas le coefficient.
b) Quatrième proportionnelle par produit en croix : farine = 450 × 86 = 3 6006 = 600 g. Autre méthode : 450 ÷ 6 = 75 g par personne, et 75 × 8 = 600 g.

Augmenter de 12 %, c'est multiplier par 1 + 12100 = 1,12. Nouveau prix : 45 × 1,12 = 50,40 €. Contrôle : 12 % de 45 = 5,40, et 45 + 5,40 = 50,40.
Baisser de 40 %, c'est multiplier par 1 − 40100 = 0,6. Si p est le prix initial : p × 0,6 = 27.
Donc p = 27 ÷ 0,6 = 45 €.
Vérification : 45 × 0,6 = 27. Erreur classique : ajouter 40 % à 27 (27 × 1,4 = 37,80) ne redonne pas le prix initial, car les 40 % ne portent pas sur le même nombre.

Durées en heures décimales : 3 h 30 min = 3 + 3060 = 3,5 h et 2 h 15 min = 2 + 1560 = 2,25 h.
Vitesse moyenne : v = dt = 143,5 = 4 km/h.
Distance en 2 h 15 min : d = v × t = 4 × 2,25 = 9 km.
Vérification par la proportionnalité : 2 h 15 min font 914 de 3 h 30 min ; 14 × 2,253,5 = 9 km. Les 15 min ne s'écrivent jamais 2,15 h : c'est l'erreur à éviter.

a) Coefficient multiplicateur global : 1,2 × 0,8 = 0,96. Le prix final vaut 96 % du prix initial : il a baissé de 4 %. Les deux évolutions ne se compensent pas, car la baisse de 20 % porte sur un prix plus élevé que la hausse.
b) Augmentation : 13 000 − 12 500 = 500 habitants. Pourcentage : 50012 500 = 0,04 = 4 %. Contrôle : 12 500 × 1,04 = 13 000.
c) Volume : 20 × 10 × 5 = 1 000 cm³. Masse volumique = masse ÷ volume = 650 ÷ 1 000 = 0,65 g/cm³.
Comme 0,65 < 1, le bois est moins dense que l'eau : il flotte.

Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée.
f(2) = −3 × 2 + 7 = −6 + 7 = 1. f(−1) = −3 × (−1) + 7 = 3 + 7 = 10. f(0) = −3 × 0 + 7 = 7.
Pour trouver l'antécédent de −5, on résout f(x) = −5 : −3x + 7 = −5. On soustrait 7 : −3x = −12. On divise par −3 : x = 4.
Vérification : f(4) = −12 + 7 = −5. L'antécédent de −5 est 4 ; il est unique, car l'équation n'a qu'une solution.

On calcule chaque image : g(−2) = (−2)² + 1 = 4 + 1 = 5 ; g(−1) = 1 + 1 = 2 ; g(0) = 0 + 1 = 1 ; g(1) = 2 ; g(2) = 5.

a) Le prix se compose des 40 € fixes et de 35 € par heure : p(t) = 35t + 40 (en euros, t en heures).
b) p(3) = 35 × 3 + 40 = 105 + 40 = 145 €. Pour 180 €, on résout 35t + 40 = 180 : 35t = 140, donc t = 4. Une facture de 180 € correspond à 4 heures de travail.
c) Non : à durée nulle, le prix n'est pas nul (p(0) = 40), et p(2) = 110 n'est pas le double de p(1) = 75. La représentation graphique de p est une droite (chaque heure ajoute 35 €), mais elle ne passe pas par l'origine : elle coupe l'axe des ordonnées en 40. Ce n'est pas une situation de proportionnalité.
d) Second plombier : q(t) = 50t, situation de proportionnalité. Factures égales lorsque 50t = 35t + 40, soit 15t = 40, donc t = 4015 = 83 h ≈ 2,67 h, soit 2 h 40 min. Vérification : 50 × 83 = 4003 ≈ 133,33 et 35 × 83 + 40 = 2803 + 1203 = 4003. Pour une intervention plus longue, le premier plombier est moins cher.