Proportionnalité et fonctions — cours de 4e

Proportionnalité, Quatrième proportionnelle, Pourcentages, Vitesse et grandeurs composées Lecture ≈ 5 min.

1. Proportionnalité : rappels

DéfinitionDeux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de la première ligne par le coefficient.

Nombre de croissants	2	5	8
Prix (€)	2,40	6	9,60

Coefficient de proportionnalité : 2,402 = 65 = 9,608 = 1,2 (prix d'un croissant).

2. Quatrième proportionnelle

DéfinitionDans un tableau de proportionnalité à quatre cases dont trois sont connues, la valeur manquante s'appelle la quatrième proportionnelle.

Propriété (produits en croix)Le tableau

a	b
c	d

est un tableau de proportionnalité si et seulement si a × d = b × c.
Ainsi, si a, b et c sont connus (a ≠ 0), alors d = b × ca.

MéthodePour calculer une quatrième proportionnelle, on peut utiliser au choix :

le coefficient de proportionnalité ;
le passage par l'unité ;
les propriétés de linéarité (additivité, multiplication par un nombre) ;
le produit en croix.

ExempleUne voiture consomme 5,4 L d'essence pour 90 km. Quelle quantité consomme-t-elle pour 250 km (à consommation constante) ?

Distance (km)	90	250
Essence (L)	5,4	x

Produit en croix : x = 5,4 × 25090 = 1350/90 = 15 L.

3. Pourcentages

Propriété (rappels)

Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Exemple : 35 % de 80 = 80 × 35100 = 28.
Calculer un pourcentage : la proportion 1240 correspond à 1240 = 0,3 = 30 %.

Propriété (augmentation et diminution)

Augmenter une quantité de t %, c'est la multiplier par (1 + t100).
Diminuer une quantité de t %, c'est la multiplier par (1 − t100).

Ce nombre est appelé coefficient multiplicateur.

Évolution	Coefficient multiplicateur
Augmentation de 20 %	1 + 0,20 = 1,2
Augmentation de 5 %	1,05
Diminution de 30 %	1 − 0,30 = 0,7
Diminution de 15 %	0,85

ExempleUn article coûte 68 €. Il est soldé à −25 %. Quel est son nouveau prix ?
Coefficient multiplicateur : 1 − 25100 = 0,75. Nouveau prix : 68 × 0,75 = 51 €.
(Autre méthode : 25 % de 68 = 17 ; 68 − 17 = 51.)

ExempleAprès une augmentation de 8 %, un loyer est de 648 €. Quel était le loyer initial ?
Loyer initial × 1,08 = 648, donc loyer initial = 6481,08 = 600 €.

ExempleUn prix augmente de 10 % puis baisse de 10 %. Revient-il à sa valeur initiale ?
Coefficient global : 1,1 × 0,9 = 0,99. Le prix final est 99 % du prix initial : il a baissé de 1 %. Non, il ne revient pas à sa valeur initiale.

4. Vitesse et grandeurs composées

DéfinitionUne grandeur quotient est obtenue en divisant deux grandeurs : vitesse (km/h), débit (L/min), masse volumique (g/cm³), densité de population (hab/km²). Une grandeur produit est obtenue en multipliant deux grandeurs : énergie en kWh (kW × h), aire (m × m).

Propriété (vitesse moyenne)Si un mobile parcourt la distance d pendant la durée t, sa vitesse moyenne est v = dt. On en déduit d = v × t et t = dv.
Unités cohérentes : si d est en km et t en h, v est en km/h. Conversion : 1 m/s = 3,6 km/h.

MéthodePour les calculs de durée, on convertit en heures décimales : 45 min = 4560 h = 0,75 h ; 1 h 20 min = 1 + 2060 = 43 h ≈ 1,33 h. Inversement, 0,4 h = 0,4 × 60 = 24 min.

ExempleUn cycliste parcourt 42 km en 1 h 45 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
1 h 45 min = 1,75 h. v = 421,75 = 24 km/h.

ExempleUn TGV roule à 300 km/h. Combien de temps met-il pour parcourir 225 km ?
t = 225300 = 0,75 h = 45 min.

ExempleLa masse volumique du fer est 7,8 g/cm³. Quelle est la masse d'un cube de fer de 5 cm d'arête ?
Volume : 5³ = 125 cm³. Masse : 125 × 7,8 = 975 g.

5. Notion de fonction

DéfinitionUne fonction est un procédé qui, à chaque nombre x, associe un unique nombre noté f(x) (lire « f de x »).

f(x) est l'image de x par la fonction f.
x est un antécédent de f(x) par f.

On note f : x ↦ f(x). Exemple : la fonction f : x ↦ 3x − 2 associe à 4 le nombre f(4) = 3 × 4 − 2 = 10. L'image de 4 est 10 ; 4 est un antécédent de 10.

PropriétéUn nombre a une seule image, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun). Exemple : pour g : x ↦ x², le nombre 9 a deux antécédents, 3 et −3 ; le nombre −4 n'a aucun antécédent.

Méthode

Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée dans l'expression de f(x).
Pour trouver un antécédent de b, on résout l'équation f(x) = b.

ExempleSoit h la fonction définie par h(x) = 2x² − 5.
Image de −3 : h(−3) = 2 × 9 − 5 = 13.
Antécédents de 3 : 2x² − 5 = 3, soit 2x² = 8, soit x² = 4, donc x = 2 ou x = −2.

6. Représentations d'une fonction

DéfinitionUne fonction peut être donnée par :

une formule : f(x) = 2x + 1 ;
un tableau de valeurs (ligne des x, ligne des images) ;
une courbe représentative dans un repère : l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).

x	−2	−1	0	1	2	3
f(x) = 2x + 1	−3	−1	1	3	5	7

Méthode (lecture graphique)

Pour lire l'image de a : on part de a sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point sur l'axe des ordonnées.
Pour lire les antécédents de b : on part de b sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale, on repère tous les points d'intersection avec la courbe, puis on lit leurs abscisses.

Propriété (lien avec la proportionnalité)Une situation de proportionnalité de coefficient k est modélisée par la fonction x ↦ kx. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.

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