Proportionnalité et fonctions — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 13 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Proportionnalité : rappels
Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de la première ligne par le coefficient.
Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de la première ligne par le coefficient.
| Nombre de croissants | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 2,40 | 6 | 9,60 |
2. Quatrième proportionnelle
Définition
Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases dont trois sont connues, la valeur manquante s'appelle la quatrième proportionnelle.
Propriété (produits en croix)
Le tableau
est un tableau de proportionnalité si et seulement si a × d = b × c.
Ainsi, si a, b et c sont connus (a ≠ 0), alors d = b × ca.
| a | b |
| c | d |
Ainsi, si a, b et c sont connus (a ≠ 0), alors d = b × ca.
3. Pourcentages
Propriété (rappels)
- Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Exemple : 35 % de 80 = 80 × 35100 = 28.
- Calculer un pourcentage : la proportion 1240 correspond à 1240 = 0,3 = 30 %.
Propriété (augmentation et diminution)
- Augmenter une quantité de t %, c'est la multiplier par (1 + t100).
- Diminuer une quantité de t %, c'est la multiplier par (1 − t100).
| Évolution | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| Augmentation de 20 % | 1 + 0,20 = 1,2 |
| Augmentation de 5 % | 1,05 |
| Diminution de 30 % | 1 − 0,30 = 0,7 |
| Diminution de 15 % | 0,85 |
4. Vitesse et grandeurs composées
Définition
Une grandeur quotient est obtenue en divisant deux grandeurs : vitesse (km/h), débit (L/min), masse volumique (g/cm3), densité de population (hab/km2). Une grandeur produit est obtenue en multipliant deux grandeurs : énergie en kWh (kW × h), aire (m × m).
Propriété (vitesse moyenne)
Si un mobile parcourt la distance d pendant la durée t, sa vitesse moyenne est v = dt. On en déduit d = v × t et t = dv.
Unités cohérentes : si d est en km et t en h, v est en km/h. Conversion : 1 m/s = 3,6 km/h.
Unités cohérentes : si d est en km et t en h, v est en km/h. Conversion : 1 m/s = 3,6 km/h.
5. Notion de fonction
Définition
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre x, associe un unique nombre noté f(x) (lire « f de x »).
- f(x) est l'image de x par la fonction f.
- x est un antécédent de f(x) par f.
Propriété
Un nombre a une seule image, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun). Exemple : pour g : x ↦ x2, le nombre 9 a deux antécédents, 3 et −3 ; le nombre −4 n'a aucun antécédent.
6. Représentations d'une fonction
Définition
Une fonction peut être donnée par :
- une formule : f(x) = 2x + 1 ;
- un tableau de valeurs (ligne des x, ligne des images) ;
- une courbe représentative dans un repère : l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2x + 1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Propriété (lien avec la proportionnalité)
Une situation de proportionnalité de coefficient k est modélisée par la fonction x ↦ kx. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
Pour calculer une quatrième proportionnelle, on peut utiliser au choix :
- le coefficient de proportionnalité ;
- le passage par l'unité ;
- les propriétés de linéarité (additivité, multiplication par un nombre) ;
- le produit en croix.
Méthode 2
Pour les calculs de durée, on convertit en heures décimales : 45 min = 4560 h = 0,75 h ; 1 h 20 min = 1 + 2060 = 43 h ≈ 1,33 h. Inversement, 0,4 h = 0,4 × 60 = 24 min.
Méthode 3
- Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée dans l'expression de f(x).
- Pour trouver un antécédent de b, on résout l'équation f(x) = b.
Méthode 4Méthode (lecture graphique)
- Pour lire l'image de a : on part de a sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point sur l'axe des ordonnées.
- Pour lire les antécédents de b : on part de b sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale, on repère tous les points d'intersection avec la courbe, puis on lit leurs abscisses.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés