Exercices corrigés — Probabilités (4e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

On lance trois fois une pièce équilibrée. Combien y a-t-il d'issues ? Probabilité d'obtenir trois fois Face ? au moins une fois Pile ?

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Correction détaillée

Chaque lancer a 2 issues et il y a 3 lancers : 2 × 2 × 2 = 8 issues équiprobables (la pièce est équilibrée) : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Un arbre à trois niveaux permet de les lister sans en oublier.
Trois fois Face : une seule issue, FFF. p = 18.
« Au moins une fois Pile » est l'événement contraire de « aucun Pile », c'est-à-dire de FFF : p = 1 − 18 = 78.
Vérification par comptage : 7 issues sur 8 contiennent au moins un P. Passer par l'événement contraire évite de dénombrer ces 7 issues une à une.

Exercice 8 Challenge

Un sac contient 1 boule rouge et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule. a) Représenter l'expérience par un arbre pondéré. b) Probabilité d'obtenir deux boules vertes ? c) Probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ? d) Probabilité d'obtenir exactement une boule rouge ?

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Correction détaillée

a) À chaque tirage, les 4 boules sont équiprobables : p(R) = 14 et p(V) = 34. Comme la boule est remise, les probabilités sont les mêmes au second tirage. L'arbre a deux branches R (14) et V (34) au premier niveau, et de nouveau R (14) et V (34) au bout de chacune.
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : RR : 14 × 14 = 116 ; RV : 14 × 34 = 316 ; VR : 34 × 14 = 316 ; VV : 34 × 34 = 916. Vérification : 116 + 316 + 316 + 916 = 1616 = 1.
b) p(deux vertes) = p(VV) = 916.
c) « Au moins une rouge » est le contraire de « deux vertes » : p = 1 − 916 = 716. d) « Exactement une rouge » : chemins RV et VR, p = 316 + 316 = 616 = 38. Cohérence : 116 (deux rouges) + 38 (une rouge) = 716, on retrouve c).

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