Probabilités — cours de 4e
Rappels de vocabulaire, Événement contraire, Expériences à deux épreuves Lecture ≈ 4 min.
1. Rappels de vocabulaire
Définition
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles (les issues).
- Un événement est un ensemble d'issues. Il est réalisé lorsque l'issue obtenue en fait partie.
- La probabilité d'un événement A, notée p(A), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que A se réalise.
- Un événement de probabilité 0 est impossible ; un événement de probabilité 1 est certain.
Propriété (équiprobabilité)Lorsque toutes les issues ont la même probabilité (situation d'équiprobabilité) :
p(A) = nombre d'issues favorables à Anombre total d'issues.
p(A) = nombre d'issues favorables à Anombre total d'issues.
ExempleOn lance un dé équilibré à 6 faces. Événement A : « obtenir un nombre pair ». Issues favorables : 2, 4, 6. p(A) = 36 = 12.
Événement B : « obtenir un multiple de 3 » : issues 3 et 6, p(B) = 26 = 13.
Événement C : « obtenir 7 » : impossible, p(C) = 0.
Événement B : « obtenir un multiple de 3 » : issues 3 et 6, p(B) = 26 = 13.
Événement C : « obtenir 7 » : impossible, p(C) = 0.
PropriétéLa somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.
Lorsque l'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité (c'est ce qui permet d'estimer une probabilité par simulation ou expérience).
Lorsque l'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité (c'est ce qui permet d'estimer une probabilité par simulation ou expérience).
2. Événement contraire
DéfinitionL'événement contraire de A, noté non A (ou Ā), est l'événement qui se réalise exactement lorsque A ne se réalise pas.
Propriétép(non A) = 1 − p(A)
ExempleDans un sac, on a 3 boules rouges, 5 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
p(rouge) = 310 ; p(verte) = 510 = 12 ; p(bleue) = 210 = 15.
Probabilité de ne pas tirer une boule verte : p(non verte) = 1 − 12 = 12.
p(rouge) = 310 ; p(verte) = 510 = 12 ; p(bleue) = 210 = 15.
Probabilité de ne pas tirer une boule verte : p(non verte) = 1 − 12 = 12.
DéfinitionDeux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas, p(A ou B) = p(A) + p(B). Exemple : « rouge » et « bleue » sont incompatibles : p(rouge ou bleue) = 310 + 210 = 12.
3. Expériences à deux épreuves
DéfinitionUne expérience à deux épreuves est constituée de deux expériences aléatoires successives (par exemple lancer deux pièces, lancer un dé puis une pièce, tirer deux boules). Une issue est alors un couple de résultats.
Méthode (tableau à double entrée)Lorsque les deux épreuves ont peu d'issues, on dresse un tableau : les lignes correspondent aux issues de la première épreuve, les colonnes à celles de la seconde. Chaque case est une issue de l'expérience globale. En situation d'équiprobabilité, on compte les cases favorables.
ExempleOn lance deux dés équilibrés et on fait la somme des résultats. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ? d'obtenir au moins 10 ?
Il y a 36 issues équiprobables. La somme 7 apparaît 6 fois : p(7) = 636 = 16.
« Au moins 10 » : sommes 10, 11 ou 12, soit 3 + 2 + 1 = 6 cases : p = 636 = 16.
| 1er dé \ 2e dé | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
« Au moins 10 » : sommes 10, 11 ou 12, soit 3 + 2 + 1 = 6 cases : p = 636 = 16.
Méthode (arbre des possibles)On représente la première épreuve par des branches partant d'un point, puis, au bout de chaque branche, on dessine les branches de la seconde épreuve. Chaque chemin de l'arbre est une issue. On peut écrire les probabilités sur les branches : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
ExempleOn lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Probabilité d'obtenir exactement une fois Pile ?
Arbre :
Probabilité d'obtenir au moins un Pile : contraire de « aucun Pile » (FF), donc p = 1 − 14 = 34.
Arbre :
┌── P (PP)
┌ P ──┤
│ └── F (PF)
Départ ─┤
│ ┌── P (FP)
└ F ──┤
└── F (FF)
Il y a 4 issues équiprobables : PP, PF, FP, FF. Les issues avec exactement un Pile sont PF et FP. p = 24 = 12.Probabilité d'obtenir au moins un Pile : contraire de « aucun Pile » (FF), donc p = 1 − 14 = 34.
ExempleUn sac contient 2 boules rouges (R) et 3 boules noires (N). On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur ?
p(R) = 25 et p(N) = 35 à chaque tirage (avec remise, les probabilités ne changent pas).
Chemins : RR : 25 × 25 = 425 ; NN : 35 × 35 = 925.
p(même couleur) = 425 + 925 = 1325.
Vérification par le contraire : p(couleurs différentes) = RN + NR = 625 + 625 = 1225, et 1325 + 1225 = 1.
p(R) = 25 et p(N) = 35 à chaque tirage (avec remise, les probabilités ne changent pas).
Chemins : RR : 25 × 25 = 425 ; NN : 35 × 35 = 925.
p(même couleur) = 425 + 925 = 1325.
Vérification par le contraire : p(couleurs différentes) = RN + NR = 625 + 625 = 1225, et 1325 + 1225 = 1.