Exercices corrigés — Probabilités (4e)

Les 8 secteurs sont identiques : les 8 issues sont équiprobables, chacune de probabilité 18. La probabilité d'un événement est le nombre d'issues favorables divisé par 8.
Nombres premiers entre 1 et 8 : 2, 3, 5 et 7 (1 n'est pas premier). p = 48 = 12.
Strictement supérieur à 6 : 7 et 8. p = 28 = 14.
Différent de 8 : c'est l'événement contraire de « obtenir 8 », de probabilité 18. p = 1 − 18 = 78. Vérification par comptage : 7 issues favorables sur 8.

a) Le choix au hasard rend les 28 élèves équiprobables. p(gaucher) = 728 = 14 = 0,25.
« Droitier » est l'événement contraire de « gaucher » : p(droitier) = 1 − 14 = 34. Vérification : 21 droitiers sur 28, et 2128 = 34.
b) « Ne pas porter de lunettes » est le contraire de « porter des lunettes » : p = 1 − 0,35 = 0,65.
La règle p(non A) = 1 − p(A) s'applique même quand on ne connaît pas les effectifs, car A et non A recouvrent toutes les issues sans se chevaucher.

Un jeu de 32 cartes contient 4 couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) de 8 cartes chacune : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as. Le tirage au hasard assure l'équiprobabilité : chaque carte a la probabilité 132.
As : 4 cartes (un par couleur). p = 432 = 18.
Cœur : 8 cartes. p = 832 = 14.
Figures : 3 par couleur, soit 12 cartes ; p(figure) = 1232 = 38. « Ne pas être une figure » est l'événement contraire : p = 1 − 38 = 58. Vérification : 32 − 12 = 20 cartes, et 2032 = 58.

a) Les trois couleurs recouvrent toutes les issues : la somme des probabilités vaut 1. p(bleu) = 1 − (0,3 + 0,45) = 1 − 0,75 = 0,25.
b) « Rouge » et « vert » sont incompatibles (un jeton n'a qu'une couleur) : p(rouge ou vert) = p(rouge) + p(vert) = 0,3 + 0,45 = 0,75. C'est aussi le contraire de « bleu » : 1 − 0,25 = 0,75.
c) Avec équiprobabilité, la probabilité d'une couleur est son effectif divisé par 40. Rouges : 0,3 × 40 = 12 ; verts : 0,45 × 40 = 18 ; bleus : 0,25 × 40 = 10.
Vérification : 12 + 18 + 10 = 40 jetons.

Première épreuve : 6 issues (1 à 6). Seconde épreuve : 2 issues (Pile, Face). Une issue de l'expérience est un couple, par exemple (6 ; P).

a) Chaque dé a 6 issues : l'expérience a 6 × 6 = 36 issues équiprobables, que l'on peut ranger dans un tableau à double entrée des produits.
b) Produit égal à 12 : couples (2 ; 6), (3 ; 4), (4 ; 3), (6 ; 2), soit 4 issues. p = 436 = 19. Attention à compter (3 ; 4) et (4 ; 3) comme deux issues différentes.
c) Un produit est impair seulement si les deux facteurs sont impairs. Chaque dé a 3 faces impaires (1, 3, 5) : 3 × 3 = 9 issues. p = 936 = 14. Par conséquent, la probabilité d'un produit pair est 34.
d) Produits au moins égaux à 20 : (4 ; 5) et (5 ; 4) donnent 20, (4 ; 6) et (6 ; 4) donnent 24, (5 ; 5) donne 25, (5 ; 6) et (6 ; 5) donnent 30, (6 ; 6) donne 36 : 8 issues. p = 836 = 29.

Chaque lancer a 2 issues et il y a 3 lancers : 2 × 2 × 2 = 8 issues équiprobables (la pièce est équilibrée) : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Un arbre à trois niveaux permet de les lister sans en oublier.
Trois fois Face : une seule issue, FFF. p = 18.
« Au moins une fois Pile » est l'événement contraire de « aucun Pile », c'est-à-dire de FFF : p = 1 − 18 = 78.
Vérification par comptage : 7 issues sur 8 contiennent au moins un P. Passer par l'événement contraire évite de dénombrer ces 7 issues une à une.

a) À chaque tirage, les 4 boules sont équiprobables : p(R) = 14 et p(V) = 34. Comme la boule est remise, les probabilités sont les mêmes au second tirage. L'arbre a deux branches R (14) et V (34) au premier niveau, et de nouveau R (14) et V (34) au bout de chacune.
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : RR : 14 × 14 = 116 ; RV : 14 × 34 = 316 ; VR : 34 × 14 = 316 ; VV : 34 × 34 = 916. Vérification : 116 + 316 + 316 + 916 = 1616 = 1.
b) p(deux vertes) = p(VV) = 916.
c) « Au moins une rouge » est le contraire de « deux vertes » : p = 1 − 916 = 716. d) « Exactement une rouge » : chemins RV et VR, p = 316 + 316 = 616 = 38. Cohérence : 116 (deux rouges) + 38 (une rouge) = 716, on retrouve c).