Exercices corrigés — Nombres relatifs : multiplication et division (4e)

Règle des signes : deux nombres de même signe donnent un résultat positif, deux nombres de signes contraires un résultat négatif ; on opère ensuite sur les distances à zéro.
a) Même signe, produit positif : 8 × 7 = 56, donc (−8) × (−7) = 56.
b) Signes contraires, produit négatif : 9 × 1,5 = 13,5, donc 9 × (−1,5) = −13,5.
c) Signes contraires, quotient négatif : 56 ÷ 8 = 7, donc (−56) ÷ 8 = −7. d) Même signe, quotient positif : 4,2 ÷ 0,7 = 6, donc (−4,2) ÷ (−0,7) = 6. Vérification : (−0,7) × 6 = −4,2.

Le signe d'un produit dépend du nombre de facteurs négatifs : pair, produit positif ; impair, produit négatif.
a) Un seul facteur négatif : produit négatif. 3,7 × 5,2 = 19,24, donc (−3,7) × 5,2 = −19,24.
b) Trois facteurs négatifs (impair) : produit négatif. 8 × 0,5 × 12 = 4 × 12 = 48, donc le produit vaut −48.
c) Quatre facteurs négatifs (pair) : produit positif. 2 × 1 × 3 × 7 = 42, donc le produit vaut 42. d) Un facteur est nul : le produit est nul, 0 × (−9) × 4 = 0, sans signe à déterminer.

On compte les facteurs négatifs : il y en a 5, nombre impair, donc H est négatif.
On multiplie les distances à zéro : 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Donc H = −120.
Contrôle en calculant de gauche à droite : (−1) × (−2) = 2 ; 2 × (−3) = −6 ; (−6) × (−4) = 24 ; 24 × (−5) = −120. Le signe change à chaque facteur négatif rencontré.

a) (−63) ÷ (−7) : même signe, quotient positif, 63 ÷ 7 = 9. Résultat : 9. 45 ÷ (−0,9) : signes contraires, quotient négatif, 45 ÷ 0,9 = 50. Résultat : −50. −24−6 : même signe, 24 ÷ 6 = 4. Résultat : 4.
b) (−7) × … = 56 : le produit est positif et un facteur est négatif, donc le facteur manquant est négatif ; 56 ÷ 7 = 8, il vaut −8. Vérification : (−7) × (−8) = 56.
… ÷ (−4) = −9 : le nombre cherché est (−9) × (−4) = 36. Vérification : 36 ÷ (−4) = −9.
5 × … = −2 : le facteur manquant est (−2) ÷ 5 = −0,4, ou encore −25. Vérification : 5 × (−0,4) = −2.

Priorités : les multiplications et divisions d'abord, puis les additions et soustractions de gauche à droite. On écrit une étape par ligne en ne remplaçant qu'un bloc à la fois.
3 × (−5) = −15 (signes contraires) et (−18) ÷ (−6) = 3 (même signe).
I = 4 − (−15) + 3. Soustraire −15, c'est ajouter 15 : I = 4 + 15 + 3.
I = 19 + 3 = 22.

On commence par les parenthèses : −6 + 2 = −4 et 3 − 8 = −5.
J = (−4) × (−5) − (−10) ÷ 5. Puis les multiplications et divisions : (−4) × (−5) = 20 (même signe) et (−10) ÷ 5 = −2 (signes contraires).
J = 20 − (−2) = 20 + 2.
J = 22. Erreur fréquente : oublier que « − (−2) » vaut « + 2 », ce qui donnerait 18.

La barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule le numérateur et le dénominateur séparément.
Numérateur : −2 × 3 + 4 = −6 + 4 = −2. Dénominateur : 1 − 3 = −2. K = −2−2 = 1 (même signe, quotient positif).
L : (−5)² = (−5) × (−5) = 25 et 4 × (−3) × 2 = −24 (un seul facteur négatif). L = 25 − (−24) = 25 + 24 = 49.
M : sans parenthèses, −5² = −(5 × 5) = −25, car la puissance porte sur 5 seulement. M = −25 − (−24) = −25 + 24 = −1. Les parenthèses changent tout : L = 49 et M = −1.

a) Descendre de 3 niveaux se traduit par −3, quatre fois : 4 × (−3). Monter de 2 niveaux cinq fois : 5 × 2. Niveau final : 4 × (−3) + 5 × 2 = −12 + 10 = −2. L'ascenseur termine au niveau −2 (deuxième sous-sol).
b) De 18 h à minuit, il s'écoule 6 h. La variation de température est 6 × (−1,5) = −9 °C. Température à minuit : 4 + (−9) = 4 − 9 = −5 °C.
Pour passer de 4 °C à −2 °C, la température a varié de −2 − 4 = −6 °C. À raison de −1,5 °C par heure, cela prend (−6) ÷ (−1,5) = 4 h.
Il faisait −2 °C à 18 h + 4 h = 22 h. Vérification : 4 + 4 × (−1,5) = 4 − 6 = −2.